Problème de probabilité

[jeanaime]

Bonjour, j'ai un petit problème pour comprendre un de mes exercices.

On considère une suite infinie de partie de pile ou face indépendantes, réalisées avec une pièce équilibrée. Cette expérience est modélisée à l'aide d'une suite (Xn) de variables aléatoires indépendantes de même loi: P(Xn=1)=P(Xn=0)=1/2.
{Xn=1} désigne l'événement "le n-ième jet donne pile"
{Xn=0} désigne l'événement "le n-ième jet donne face"
On donne r un entier strictement positif et on pose :
T(w)=inf{n|Xn-r+1(w)=...=Xn(w)=1}
=+ infini si l'ensemble est vide
T est le temps d'attente de r "pile" consécutifs. on note fn=P(T=n)
et qn=P(T>n)

on me demande de comparer les événements {T=n+r+1}
et {T>n,Xn+1=0,Xn+2=...=Xn+r+1=1}
et d'établir la formule fn+r+1=qn*1/2*(1/2)^r.

Voilà je vous remercie d'avance pour l'attention que vous porterai à cette exercice, et moi je ne suis pas tout à fait sur d'avoir bien compris ce que c'était T. Merci beaucoup

[fahr451]

bonjour

les deux événements sont les mêmes

si T = n+r+1 est réalisé alors

T>n et les r derniers lancers de n+2 à n+r+1 donnent pile les variables X valent donc 1 et le lancer n+1 donne face sinon T serait réalisé avant la date n+r+1 ( on aurait déjà r piles consécutis de n+1 à n+r)

donc l autre événement est réalisé

et réciproquement (suffit d écrire dans l'autre sens)

[jeanaime]

Je vous remercie beaucoup pour cette explication, vous m'avez permis d'avancer. De plus, grâce au deuxième événement, il suffit de justifier que T>n est indépendant de Xn+1=0, Xn+2=...=Xn+r+1=1 pour obtenir la relation. Merci de vous être pencher sur la question.