Application partielle

[Guigui1Pierre]

Soit F un ev normé de dimension finie.
1≤k≤p
Soit U un ouvert non vide de IR^p muni de sa base canonique.
Soit a=(a_1,...,a_p) un point de U.
On note theta_{a,k} l'application de IR dans IR^p définie par
theta_{a,k} : t -> (a_1,...,a_{k-1},t,a_{k+1},...,a_p)
Alors l'application theta_{a,k} est linéaire?

Ca me paraît clairement faux mais c'est pourtant écrit dans un lemme dans mon bouquin HPrépa 2eme année MP-MP* édition Hachette Supérieur des années 2000.
(les IA me disent que theta_{a,k} est affine mais pas linéaire)
Quelqu'un aurait une explication?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Que dit exactement le lemme en question ?

[Guigui1Pierre]

Bonjour,

Voici le lemme:

Soit F un ev normé de dimension finie.
1≤k≤p
Soit U un ouvert non vide de IR^p muni de sa base canonique.
Soit a=(a_1,...,a_p) un point de U.
On note theta_{a,k} l'application de IR dans IR^p définie par
theta_{a,k} : t -> (a_1,...,a_{k-1},t,a_{k+1},...,a_p)
et
U_{a,k} = { t dans IR | theta_{a,k} (t) = (a_1,...,a_{k-1},t,a_{k+1},...,a_p) dans U }
Alors l'application theta_{a,k} est continue et l'ensemble U_{a,k} est un ouvert non vide de IR.

C'est la démo du lemme qui prétend que theta_{a,k} est linéaire (ce qui impliquerait sa continuité puisqu'on est en dimension finie).

[GaBuZoMeu]

9a ne me renseigne pas vraiment sur ce qui est dit exactement à propos de la linéarité. L'application est la somme d'une constante et d'une application linéaire (autrement dit une application affine) et est bien continue.