Logarithme népérien

[zwijndrecht]

Bonjour,

Connaîtriez-vous des références vers une preuve de l'impossibilité d'exprimer le logarithme népérien à l'aide des fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques, racines carrées, etc.

Idéalement, j'aimerais des références accessibles niveau bac+1/bac+2.

Merci d'avance !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Qu'appelles-tu "exprimer" ? Que mets-tu dans "etc."
Par exemple, en, prenant le cas de l'exponentielle, on peut l'"exprimer" à partir des fonctions trigonométriques par . On peut "exprimer" le logarithme néperien comme .

[zwijndrecht]

Bonjour,

Je pars de la définition du logarithme népérien comme unique primitive de la fonction inverse qui s'annule en 1. Je cherche une référence où l'on prouve de manière "élémentaire" que cette primitive ne peut être exprimée comme somme, produit ou composée des fonctions polynômes, rationnelles, racines, trigo.
En clair, que si l'on ne "connaît" ni le log ni l'exponentielle, il est nécessaire d'introduire une nouvelle fonction élémentaire pour pouvoir primitiver la fonction inverse.

[GaBuZoMeu]

Dans mon message précédent, j'obtiens l'exponentielle à partir des fonctions trigonométriques ...
Si on met à part les fonction trigonométriques, les fonctions que l'on obtient font partie des fonctions semi-algébriques, et l'asymptotique de telles fonctions en est du type une constante fois une puissance rationnelle de la variable (ce n'est pas tout à fait élémentaire). Donc l'exponentielle et le logarithme n'en sont pas.

[zwijndrecht]

Si on met à part les fonction trigonométriques, les fonctions que l'on obtient font partie des fonctions semi-algébriques, et l'asymptotique de telles fonctions en est du type une constante fois une puissance rationnelle de la variable (ce n'est pas tout à fait élémentaire). Donc l'exponentielle et le logarithme n'en sont pas.

Aurais-tu une (ou des) référence(s) où l'on démontre cela ?

Tu sous-entends que l'on peut donc exprimer le logarithme népérien avec des fonctions trigo (si l'on s'autorise les nombres complexes) ?

De même, si l'on se cantonne à de l'analyse réelle (pas de nombres complexes), comment montrer qu'une primitive de la fonction inverse ne peut être obtenue avec les fonctions trigo/ trigo réciproques (éventuellement sommées, multipliées ou composées avec des fonctions polynomiales, racines, rationnelles) ?