Bonjour à tous,
Je viens de lire dans un bouquin de mathematiques comment a été construite la fonction logarithme népérien :
Voiçi ce qui se dit dans ce livre :
" Nous avons tendance dans cette exercice de détérminer toutes les fonctions
, définies sur l'intervalle
, verifiant les deux propriétés suivantes :
 ~~ $)
.
:
 = f(x) + f(y) $)
 ~~ $)
.
est dérivable sur
.
Solution :
La fonction nulle sur
verifient les deux propriétés de l'enoncé.
Supposons qu'il existe une autre fonction
differente de la fonction nulle et qui verifient les deux conditions précédentes.
On a :
 = 1 $)
( On prend dans
:
) .
On considère la fonction
définie sur
comme suit :
:
 = f(xy) = f(x ) + f(y) $)
.
On a :
:
 = x f'(xy) = f'(y) $)
Si on prend :
, on obtient :
 = \frac{f'(1)}{x} $)
.
Si on prend :
 = k $)
, alors :
:
 = \frac{k}{x} $)
avec :
.
On constate de ce qui prècède que
est la fonction primitive de la fonction :
sur
et qui s'annule en
. Cette fonction existe car,
est continue sur
.
Inversement, Soit
la fonction primitive de
sur
et qui s'annule en
.
est dérivable sur
et
:
 = \frac{k}{x} $)
.
Montrons que :
:
 = F(x) + F(y) $)
.
On considère la fonction :
définie sur
comme suit :
:
 = F(xy) $)
.
On a :
 = x F'(xy) = x. \frac{k}{xy} = \frac{k}{y} $)
.
Alors,
est une primitive de
sur
, et donc :
:
 = F(y) + c $)
.
Puisque :
 = 0 $)
, alors :
 = F(x) = c $)
D'où,
.
Conclusion :
Les fonctions définies et dérivables sur
verifiant les deux conditions de l'énoncé est la fonction primitive de la fonction
et qui s'annule en
.
Questions :
Pourquoi choisit - on de definir
sur
et non sur
ou bien sur tout
?
Peut - t - on suivre la même démarche pour determiner toutes les fonctions
definies sur un intervalle à trouver :
telles que :
:
 = f(x) + f(y) + f(z) $)
.
est dérivable sur
.
?
Merci d'avance de vos reponse.
