équations avec des puissances de nombres

[LoPol]

Bonjour.

J'arrive à écrire
10^5 =
10000 =

120 + 5*9^5 - 10*8^5 + 10*7^5 - 5*6^5 + 5^5

en me servant d'une représentation triangulaire particulière que je m'attribue :

0 1
1 1 1
2 2 2 -1
3 6 3 -3 1
4 24 4 -6 4 -1
5 120 5 -10 10 -5 1

Je n'ai toujours pas trouvé une telle présentation qui serait antérieure à la mienne.

Si vous avez des renseignements sur un tel résultat merci de le noter sur le présent forum.

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Peux-tu expliciter ce que donne l'avant dernière ligne de la représentation triangulaire ?

[GaBuZoMeu]

Ça m'étonnerait que l'identité



ne soit pas déjà écrite quelque part.

[LoPol]

Merci à tous pour l'aide.

Je n'ai rien inventé !

Il me faut voir du côté de la machine de Babbage et du théorème :
La différence d'ordre n des nombres successifs élevés à la puissance n est constante. Cette constante est égale à n! (factorielle n)

Ça marche pour tout nombre x à la place des entiers successifs.

[LoPol]

Il s'agit de calculer la factorielle n! sous forme de somme :

n! = \prod_{k=1}^{n}{k}

= \sum_{k=0}^{n}{\left(-1\right)^k }\begin{pmatrix}
n
\\
k
\end{pmatrix}
(x-k)^n

= \sum_{k,l=0}^{n}{\left(-1\right)^{k+l}}\begin{pmatrix}
n
\\
k
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
n
\\
l
\end{pmatrix}
x^{n-l} k^l

Il semble que Chat GPT lui-même écarte la possibilité d'une telle écriture sous forme directe de somme.

[LoPol]

Il s'agit de calculer la factorielle n! sous forme de somme :



Il semble que Chat GPT lui-même écarte la possibilité d'une telle écriture sous forme directe de somme.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
C'est un cas particulier de la formule (10) ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient#math_10