Analyse fonctionnelle

[Sameraz]

Bonjour,
J'aimerais un peu d'aide dans la partie d) de cet exercice:
fn(x)=sin[(x+4n2pi2)^1/2] avec x>=1
a) montrer que (fn)n converge simplement vers 0
b) montrer que (f'n)n est bornee
c) montrer que F={fn, n>=1} est equicontinue dans C([0, +inf[)
d) montrer que F n'est pas relativement compact de C([0, +inf[)

J'ai procedé par l'absurde mais je me suis bloqué:
Supposons que F est relativement compact
Donc toute suite de F admet une sous-suite convergente dans C([0, +inf[)
Donc il est existe une extractrice t, telle que f(t(n)) converge
Puis quoi? Comment arriver a une contradiction?

[Ben314]

Salut,
Je commence par récrire la fonction vu que c'est pas clair, que je pense que ton "x>=1" est faux et que tu n'a pas précisé qui est (donc je le suppose vu que n'est pas bornée) :


Sinon, le a),b),c) me semblent faciles (pour le c), ça découle du b) modulo de comprendre le "suite de fonctions bornée" comme signifiant qu'il existe une borne commune à toutes les fonctions).

Pour le d), il y a un truc pas clair pour moi (mais faut dire que je suis passablement rouillé . . . ) : l'ensemble que tu note C([0,+oo[), je suppose que c'est les fonction continues de [0,+oo[ dans R, mais tu le muni de quelle topologie ? Celle correspondant à la convergence uniforme des fonctions ?
Si c'est le cas, vu que ta suite de départ converge simplement vers la fonction nulle, toute suite extraite va aussi converger simplement vers la fonction nulle. Donc si une suite extraite convergeait uniformément vers quelque chose, ça ne pourrait être que la fonction nulle. Or c'est impossible vu que la distance (uniforme) de n'importe quelle fn à la fonction nulle vaut toujours 1.