Equicontinuité - analyse fonctionnelle

[franz2b]

Salut tout le monde.
voila un exercice que je pensais simple, mais que je n'arrive pas a boucler:

Soit tel que la famille

Déterminer tous les tels que la famille soit équicontinue dans

(i) C[0,1] (espaces des fonction continues a valeurs dans [0,1])
(ii) C[0,2]

merci a tous pour votre aide précieuse

[legeniedesalpages]

salut,

je connais pas vraiment cette notion d'équicontinuité, mais est dans quoi?


en fait tu cherches les réels tels que est équicontinue en tout point de , c'est bien ça?

[ThSQ]

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quicontinuit%C3%A9

C'est marrant c'est une super-continuité sur une famille de fonctions.

[legeniedesalpages]

oui il y a aussi l'uniforme équicontinuité, qui est une sorte de super continuité uniforme lol

[ThSQ]

oui il y a aussi l'uniforme équicontinuité, qui est une sorte de super continuité uniforme lol

Ouais :doh:
Y'a même un super théorème de Heine !

Ca a l'air intéressant l'analyse fonctionnelle, une sorte de meta-analyse ! On voit ça en L3 ?

[legeniedesalpages]

apparemment ça doit dépendre des facs. A montpellier on va voir ça le semestre prochain sur deux UE: une on part sur les espaces de Hilbert et une qui s'appuie essentiellement sur la théorie de la mesure si j'ai bien compris.

[franz2b]

salut,

je connais pas vraiment cette notion d'équicontinuité, mais est dans quoi?


en fait tu cherches les réels tels que est équicontinue en tout point de , c'est bien ça?

Ah oui, desolé les amis:
k=1,2,......

et oui pour ta deuxieme question..tu as parfaitement compris

Je suis en M1 maths, je pensais que l'analyse fonctionnelle était dans le tronc commun de tout enseignement des facs a partir de L3.
C'est une matiere super forte mais assez delicate: certains theoremes comme Stone-Weierstrass, Ascoli-Arzela ou celui de Baire ont des demonstrations lourdes.

Mais sans ana fonctionnelle, les matieres comme fourier ou analyse num (bcp d'operateurs) sont impraticables.

Enfin bref, j'aimerai plutot qu'on s'attarde sur mon petit soucis mes amis car je trouve qu'aucun n'existe :hein3:
______________________
@legeniedesalpages: si tu etudies les espaces de hilert tu vas etudier ses propriétés, ce qui est de l'analyse fonctionnelle en soi....tu en as d'ailleur surement pratiqués avec les espaces de banach aussi...

[legeniedesalpages]

oui j'ai déjà un peu vu l'équicontinuité et le théorème d'ascoli en topo mais j'ai pas fait d'exos dessus. Alors pour une fois qu'on poste sur ce sujet je veux participer :lol:.

Mais comment tu trouves que cette famille est équicontinue pour aucun point a?

[ThSQ]

apparemment ça doit dépendre des facs. A montpellier on va voir ça le semestre prochain sur deux UE: une on part sur les espaces de Hilbert et une qui s'appuie essentiellement sur la théorie de la mesure si j'ai bien compris.

Merci !

[franz2b]

oui j'ai déjà un peu vu l'équicontinuité et le théorème d'ascoli en topo mais j'ai pas fait d'exos dessus. Alors pour une fois qu'on poste sur ce sujet je veux participer .

Mais comment tu trouves que cette famille est équicontinue pour aucun point a?

ok
alors, j'ai posé la definition de l'equicontinuité et j'y suis allé comme en 14 sans que cela ne porte ses fruits.

Je me suis rabattu sur une autre méthode: (qui je pense doit etre la methode usuelle, dites moi ce que vous en pensez)
_______________________

Je note

J'ai alors les implications suivantes:
[F compacte]=>[F totalement bornée]=>[F équicontinue]

La famille F sera compacte dans le cas où pour tout k et alpha sera convergente pour tout x dans [0,1] (et donc uniformement convergente).

DONC
A quelles conditions sur alpha, convergera t elle?

x=1

trois possibilités
i) &
ii)
iii)

i) convient

On observe maintenant que
ca convergera vers e si alpha=0 pour tt k et pour x=1

x=0

Pour x=1 seul marche
Verifions deja marche aussi pour un autre point de [0,1], par exp 0!

or si x=0:



conclusion:
pour tt F n'est pas compacte car le seul alpha pour lequel ca aurait pu marcher etait 0, or:



Maintenant reste a savoir si non compacte implique non équicontinue :pi:

[legeniedesalpages]

La famille F sera compacte dans le cas où pour tout k et alpha sera convergente pour tout x dans [0,1] (et donc uniformement convergente).

Je ne comprends pas vraiment cette caractérisation de compact, et du coup là tu viens de mettre en place une topologie sur , c'est laquellle? la convergence simple ou uniforme?

On devrait peut être définir plutôt sans préciser de x vu que c' est une famille de fonctions et alpha est fixé.

[franz2b]

Je ne comprends pas vraiment cette caractérisation de compact, et du coup là tu viens de mettre en place une topologie sur , c'est laquellle? la convergence simple ou uniforme?

Wouah!
bah je sais pas trop là; la topo, c'est beau , mais c'est chaud.

La famille F de suites sera compacte si toutes les suites sont convergentes
(car on pourra alors extraire un recouvrement fini d'ouverts qui sera égal a F)

[legeniedesalpages]

Wouah!
bah je sais pas trop là; la topo, c'est beau , mais c'est chaud.

La famille F de suites sera compacte si toutes les suites sont convergentes
(car on pourra alors extraire un recouvrement fini d'ouverts qui sera égal a F)

Comment ça quelle suite?

si on parle de compacité, il faudrait savoir avec quelle topologie on travaille.

Ce serait pas plutôt F est compact si toute suite de F admet une sous-suite convergente? (cette définition marche pour la convergence uniforme mais pas pour la simple me semble-t'il).

[franz2b]

Oui c'est bien de definir
Si tu as vu que l'ensemble des points d'une suite convergente est compact, alors la reunion de suites convergentes l'est aussi.

ps: l'ensemble des points d'une suite cv est compact se prouve en utilisant la definition sequentielle de la compacité:
[S={(un)} cpct][De tt recouvrement d'ouverts egal à S on peut en extraire un fini toujours egal a S]

[busard_des_roseaux]

Ouais :doh:
Y'a même un super théorème de Heine !

Ca a l'air intéressant l'analyse fonctionnelle, une sorte de meta-analyse ! On voit ça en L3 ?

oui, puis une méta-méta avec les suites d'opérateurs puis les suites de suites d'opérateurs... :zen:
en dim infinie, les biduaux sont tjrs plus gros que les e.v de départ.

[legeniedesalpages]

Oui c'est bien de definir
Si tu as vu que l'ensemble des points d'une suite convergente est compact, alors la reunion de suites convergentes l'est aussi.

Je vois pas pourquoi, à moins que ce soit une réunion finie.

[legeniedesalpages]

oui, puis une méta-méta avec les suites d'opérateurs puis les suites de suites d'opérateurs... :zen:
en dim infinie, les biduaux sont tjrs plus gros que les e.v de départ.

j'ai rien compris mais ça a l'air intéressant, vivement qu'on nous enseigne l'analyse fonctionnelle.

[busard_des_roseaux]

je délirais... ceçi dit, je suis d'accord avec ta remarque: on peut regarder la compacité avec des suites extraites plutot qu'avec des recouvrements que si la topologie est métrisable, ce qui n'est pas tjrs le cas avec les espaces de fonctions.

[legeniedesalpages]

oui enfin je crois que convergence simple = convergence uniforme dans C([0,1],IR), donc c'est pas vraiment le souci, ce qui me perturbe plus cette affirmation:

La famille F sera compacte dans le cas où pour tout k et alpha sera convergente pour tout x dans [0,1] (et donc uniformement convergente).

je ne sais pas si c'est vrai, mais si c'est le cas je ne vois pas pourquoi?

>>Franz: une union infinie de compacts n'est pas forcément compact. Cette caractérisation est un résultat du cours?

Edit: euh non je dis n'importe quoi en fait, on a pas convergence simple = convergence uniforme. désolé.