Analyse fonctionnelle-Devoir maison

[marie49]

Bonjour tout le monde!
J'ai un petit souci en analyse fonctionnelle, sur un devoir maison.

L'énoncé est le suivant :

Dans E= normé par , on considère l'application telle que :

J'ai montré que et qu'il existe des fonctions affines invariantes par ( j'ai dit que toute fonction affine u définie sur [0,1] par u(t)=at+b avec 3a+4b=0 était stable par )

La question qui me pose problème est :

Donner toutes les valeurs propres de ainsi que tous les sous espaces propres associés

Je n'y arrive pas, car E est de dimension infinie et dans ce cas la je ne sais pas comment faire; nous n'avons jamais vu ca en cours...

J'ai écrit que est une valeur propre de si et seulement s'il existe tel que
Comme j'ai montré qu'il existait des fonctions affines u telles que , est une valeur propre de .
Le sous espace propre associé à 1, c'est bien ? Si c'est ça, on a mais ça me donne pas A tout entier...

Je suis vraiment embétée par cette question car je n'arrive pas à trouver le sous espace propre associé à 1, et je sais pas comment trouver toutes les valeurs propres...
J'espère que vous pourrez m'aider à y voir plus clair
Merci

[alavacommejetepousse]

bonsoir

avec la définition

phi (u) = k u

ssi ...

distinguer k = 1 qui donne l intégrale nulle donc le sous espace propre est un hyper plan noyau d'une forme linéaire claire

de k différent de 1 qui donne u constante et reste à vérifier si une constante est un vecteur propre.

[marie49]

Pour je peux écrire que le sous espace propre associé c'est ? Ou je dois expliciter u?

[alavacommejetepousse]

le peux tu vraiment ?

suffit de dire c 'est un hyperplan

[marie49]

ok, ben ca va alors, en fait j'essayais de trouver explicitement tous les u qui vérifiaient ca donc forcément j'étais bloquée...

Sinon j'ai regardé pour et j'ai vu qu'une constante ne pouvait pas être un vecteur propre...
Donc est l'unique valeur propre de

Merci du coup de pouce!!

[alavacommejetepousse]

Sinon j'ai regardé pour et j'ai vu qu'une constante ne pouvait pas être un vecteur propre...
!

en es tu si sûre ?

[marie49]

ok je reverifie mon calcul...

On suppose
Alors,

Donc donnerait c=0 ce qui est impossible
Non?

[marie49]

non attend je dis n'importequoi on veut j'ai remplacé par 1
Au temps pour moi

[marie49]

Donc finalement est une valeur propre, et le sous espace propre associé est

C'est bon cette fois??

[alavacommejetepousse]

R pas R* cette fois oui

[marie49]

u=0 ne peut pas être un vecteur propre... Il doit être non nul, non?

[alavacommejetepousse]

certes mais un sous espace propre est un sous espace vectoriel ...

[marie49]

oui, oui, c'est vrai je dis n'importequoi!

Merci beaucoup pour ton aide!!

[alavacommejetepousse]

au plaisir :id: