Problème d'analyse fonctionnelle

[marius1986]

J'aimerai qu'on me résolves ce problème:
E est un espace vectoriel réel de dimension finie n, muni d'un produit scalaire <|>. Soit f une fonction numérique de classe C3 définie sur U
On veut montrer que:
A l'application bilinéaire symétrique (1/2)f''(x) de E² dans IR correspond une application linéaire symétrique A(x), et une seule de E dans E, vérifiant:
(Pour tout y de E) (Pour tout z de E): (1/2)f''(x).(y,z)=

Ici f''(x) est la différentielle seconde de f.

MERCI D'AVANCE

[sky-mars]

Salut ,
tout d'abord :

-> Bonjour c'est pas cher et puis c'est poli
-> on ne fait pas les exercices, on donne des pistes par contre

[marius1986]

Merci et désolé
J'aimerai avoir votre aide tous pour m'aider à résoudre ce pb

[Arkhnor]

Bonjour.

On peut montrer l'unicité à part, et c'est trivial : si et sont deux telles applications, il suffit de montrer que , pour tout , et ceci se fait en utilisant la bilinéarité du produit scalaire.

Pour l'existence, cela résulte du théorème de Riesz. (identification canonique de avec son dual, grâce à la structure euclidienne)

En effet, pour fixé, l'application est une forme linéaire, tu peux donc construire grâce à ce théorème un unique élément que l'on note de qui ait la propriété voulue.

Il ne reste qu'à vérifier que est linéaire et symétrique, ce qui est de la routine ...

PS : Pourquoi exiger que soit ?

[marius1986]

On exige que f soit de classe C3 pour que f'' existe,
Je pense que tu parle du théorème de représentation de Riesz
J'essaye d'utiliser ce théorème, merci

[Arkhnor]

Pour que f'' existe, il suffit que la fonction soit deux fois différentiables, et à la rigueur, si on souhaite plus de régularité, on peut l'exiger C2, mais C3 ne sert pas à grand chose, à moins que l'exercice ne se limite pas qu'à cette question.

Je faisais bien référence à ce théorème (celui qui identifie E et son dual, il existe d'autres théorèmes de représentation de Riesz dans d'autres domaines ...)

[marius1986]

Merci j'ai pu résoudre mon problème et f est véritablement de classe C2

[Arkhnor]

Ok !

Bonne journée. :happy3: