Le problème suivant est très fréquent en science expérimentales, on a effectué des expériences et on a obtenu des points (xi,yi)i≤n, or on voudrait que ces points se trouvent, sur une droite, sur un cercle, sur une parabole, etc...pour mille et une raisons les points ne se trouvent pas exactement sur la courbe que l'on cherche, il faut donc trouver un moyen à partir de ces points de retrouver la courbe cherchée, ou une courbe qui sen approche le plus possible, une méthode très efficace revient à minimiser une fonction Phi qui est d'autant plus grande que les points sont éloignés de l'espace ( xi,yi,zi)i≤n.
A bien avoir la tête les xi,yi sont des constantes données qui ne varient pas et qui sont données, ce qui varie et que l'on cherche à déterminer ce sont les paramètres de la courbe, a,b,c,m,p...etc
On utilise les notations suivantes très pratiques:
n n n n
x bar= 1/n ∑ xi y bar= 1/n ∑ yi xy bar= 1/n ∑ xi yi x^2 bar = 1/n ∑ xi^2 x^p y^p bar = 1/n ∑ xi^p yi^p
i=1 i=1 i=1 i=1
Pour vérifier que vous avez bien compris si n = 3 et x1 =1, x2=3, x3=-1 et y1=-1, y2=y3=2
On a alors :
xbar=1 ybar=1 xybar= 1 x^2 bar= 11/3 x^2bar -xbar^2=
3 xy^2bar - xbar*ybar^2= 2On a une famille de points ( xi, yi) et dans le cadre d'un modèle de la forme y =ax^2+bx, on cherche la parabole d'axe vertical passant par l'origine "la plus proche possible" de l'ensemble des points. Pour cela on minimise la fonction:
n
Phi ( a,b) = ∑ (yi-(axi^2+bxi))^2