Devoir Maison dénombrement

[prdm15]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour mon devoir de mathématique sur un exercice sur le dénombrement.
L'énoncé est :
Jojo possède 100 billes d'acier identiques dont il est fièr. Il veut les ranger dans 6 jolies boites et se demande de combien de façons il peut le faire. Les billes sont indicernables mais les boites sont discernables
1) Déterminer ce nombre sachant que chaque boite doit contenir au moins une bille
2) Déterminer ce nombre sachant que chaque boite doit contenir au moins deux billes
3) Déterminer ce nombre sachant que des boites peuvent être vides.

Je suis partie du principe, pour le 1) que, les 6 boites doivent contenir 1 bille, il reste donc 94 billes à ranger dans les 6 boites. Cela doit correspondre à une combinaison mais de quoi dans quoi ? Je suis bloqué.

[issoram]

Bonsoir,

Une petite recherche sur le net pour trouver ton bonheur: http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/aaaBalle/Balle01.htm

[prdm15]

Bonjour, merci beaucoup pour votre aide mais je ne comprends pas comment on arrive à cette formule, sauriez vous m'aider ?

[tournesol]

nombre de façons de répartir n billes identiques dans k boites différentes=k-1 parmi n+k-1
C'est cette formule qu'il faut comprendre car ta remarque montre que tu as compris comment tenir compte de la condition de remplissage préalable des boites:elles doivent contenir au moins a billes.
On met a billes dans chaque boite.On a donc prélevé ka billes .Il en reste donc n-ka que l'on doit répartir dans les k boites,et sans aucune condition.
Tu appliques donc la formule de base qui te donne k-1 parmi (n-ka)+k-1
Je te donne une démo pour la formule de base.
tu notes f(k,n) ce nombre.
Si tu mets une boite de plus, tu obtiens :
f(k,n) possibilités si tu n'y mets aucune bille
f(k,n-1) possibilités si tu y mets 1 bille
f(k,n-2) possibilités si tu y mets 2 billes
...
f(k,0) possibilités si tu y mets toutes les billes.
on a donc f(k+1,n)=somme pour i variant de 0 à n des f(k,i).
On peut simplifier cette récurrence en remarquant alors que
f(k+1,n-1)=somme pour i variant de 0 à n-1 des f(k,i)
On a donc la récurrence:f(k+1,n)=f(k+1,n-1)+f(k,n)
Il suffit alors de démontrer que la formule "k-1 parmi n+k-1" vérifie cette récurrence ainsi que les conditions d'initialisation relatives au contexte(on range des billes dans des boites):
f(1,n)=1 pour tout entier naturel n
f(k,0)=1 pour tout entier naturel k non nul