Devoir maison de maths

[lyceen95]

Relis les différents messages.
Regarde la suite
Tu dois trouver assez facilement que
Autrement dit, cette suite est constante ; pour tout entier n,
Et donc, pour tout entier n,

Comme la suite b est décroissante, Cette égalité permet de conclure que la suite a est croissante.

Pour la dernière question, tu dis que tu as montré que les suites a et b avaient une limite commune. Ok, je fais confiance. Notons l cette limite. L'égalité vraie pour tout n devrait te permettre de trouver ce nombre l.

[chloe4559]

non justement mon problème est bel est bien de montrer que a_n et b_n admettent une limite commune est qu'elle est-elle

[lyceen95]

En relisant tout ça avec un peu plus d'attention, il y a des trucs qui ne vont pas. Il faut tout recommencer dès le début.
1er message , tu dis :
a et b sont définies par : a0=1 et an+1=(an+bn)/2 et b0=2 et bn+1=(2anbn)/an+bn
j'ai trouvé que an>bn et que (bn est croissante)

Si tu as trouvé que an>bn, il y a une erreur quelque part. En effet, a0=1 et b0=2 ... donc a0<b0. Donc erreur dans l'énoncé ou dans ton calcul.
Idem si bn est croissante, alors tous les termes bn sont plus grand que 2. Ensuite on est sensé démontrer que an est décroissante, donc tous les an seraient plus petits que 1. Impossible d'avoir une limite commune dans ces conditions.

Donc, tu effaces tous tes calculs, et tu reprends au début.
Eventuellement, calcule les 4 ou 5 premiers termes de ces 2 suites, ça te donnera une idée de la limite recherchée.

[sofianmakhlouf]

a0=1 et b0=2
On montre d'abord que an<bn
(an) est croissante et l'autre décroissante
Il vient que a0=1<an<bn<2
Donc (an) croissante et majoré par 2 donc elle converge vers a
l'autre converge vers b

On an+1= (an+bn)/2
Par passage à la limite on trouve
a=(a+b)/2. Donc a=b

Si on multiplie les deux formules de données on trouve an+1 bn+1=an bn
Donc la suite (an bn) est constante
Donc. an bn= 2
Par passage à la limite on trouve a*2=2

Donc a=b=✓2

[chloe4559]

bonsoir,

alors désolé j'ai oublié de préciser, je parle bien de quelque soit n appartenant aux entiers naturels privé de 0 a_n>b_n. C'est ce que je dois prouver d'après les questions (ce que j'ai d'ailleurs réussi)
j'ai bien (b_n) croissante et (a_n) décroissante dans les mêmes conditions.

maintenant il me reste a prouver qu (a_n) et (b_n) admettent un limite commune est qu'elle est t-elle ?

comme u_n=a_nb_n=2

et que a_n et b_n convergent vers L

on a limu_n=L*L=2

donc 2L=2 et L=1

ainsi la limite de a_n et b_n est 1

il me reste juste a prouver que a_n et b_n convergent vers une même limite L comme le demande l'énoncé, c'est sur ça que je bloque.

[sofianmakhlouf]

Oui tu a raisons
On étudie les limites à partir de rang 1
Mais revois ma rédaction
La limite commune et elle vaut racine de 2

[chloe4559]

ah bon elle ne vaut pas 1 ?

[chloe4559]

ah non j'ai compris mon erreur inattention
c'est L^2=2
donc L=racine de 2

cependant, je ne vois toujours pas comment prouver que a_n et b_n admettent un même limite

[fastandmaths]

c 'est une application du théorème des suites adjacentes : une est croissante l 'autre décroissante.. etc

[fastandmaths]

le théorème de la limite monotone suffit en réalité

si tu passes à la limite la relation de récurence définissant le

on aura donc

[LB2]

ah non j'ai compris mon erreur inattention
c'est L^2=2
donc L=racine de 2

cependant, je ne vois toujours pas comment prouver que a_n et b_n admettent un même limite

je te l'ai pourtant dit : une fois que tu sais que (a_n) converge vers L et (b_n) converge vers L', tu passes à la limite dans l'une des lignes définissant a_{n+1} ou b_{n+1}, la plus simple étant a_{n+1} = 1/2*(a_n+b_n)
En passant à la limite on a L = 1/2*(L+L') donc L=L'
c'est exactement ce qu'a déjà dit fastandmaths

[chloe4559]

désolé LB2 je n'avais pas compris merci quand même !