Devoir maison de maths

[chloe4559]

Bonjour, j'ai un DM de maths et j'avoue que je bloque un peu sur les dernières questions:

on a deux suites an et bn telle que a0=1 et an+1=(an+bn)/2 et b0=2 et bn+1=(2anbn)/an+bn

j'ai trouvé que an>bn et que (bn est croissante). Cependant, je n'arrive pas à prouver que (an) est décroissante car j'ai toujours un facteur qui m’embête. Je ne vois pas non plus comment montrer que (an) converge (j'ai montré que (bn) est croissante et qu'elle est majorée par 2). Et j'ai un soucis aussi pour montrer que (an) et b(n) admettent le même limite et quelle est t-elle ?

pourriez vous m'aider,

cordialement
Chloé

ps: j'ai mis le sujet en pj

[LB2]

Contexte pour comprendre la philosophie de l'exo :
Pour construire (a_n) on fait la moyenne arithmétique
Pour construire (b_n) on fait la moyenne harmonique (1/b_{n+1} est la moyenne arithmétique de 1/a_n et 1/b_n)
Une inégalité bien connue entre les moyennes : moyenne harmonique <= moyenne arithmétique

On montre que les deux suites sont adjacentes (grâce aux questions intermédiaires que tu es en train de résoudre)

[chloe4559]

euh désolé mais je comprends rien je n'ai jamais vu ça

[LB2]

tu n'as pas vu les suites adjacentes?

[LB2]

Pour montrer que (a_n) est décroissante, il suffit de calculer (a_{n+1})-a_n et de vérifier que c'est négatif, facile avec ce que tu as fait avant

[lyceen95]

Rien de simple à première vue.
Par contre, on peut avoir une 'intuition'.
On va étudier 2 autres suites. La suite définie par et la suite définie par ... ...
Je te laisse deviner la suite.

[chloe4559]

quand je fais an+1-an je trouve quelque chose de positif , je crois que c'et pas normal

[chloe4559]

non je n'ai jamais vu ça

[LB2]

Cet exercice est un exemple d'application de la notion de suites adjacentes. Si tu n'as pas vu ça en classe, on peut quand même le résoudre, mais il faut connaitre ce théorème important (admis) de terminale :

une suite croissante majorée converge
une suite décroissante minorée converge

[chloe4559]

oui je connais ce théorème

ducout c'est quoi la notion de suites adjacentes ?

[LB2]

Tu n'en pas pas strictement besoin pour l'exercice, si ce n'est pas demandé. C'est un approfondissement du programme qui est parfois fait en classe de terminale

[chloe4559]

et bien ducout qu'est ce que je dois faire ?

[LB2]

1) Montrer que a_n > b_n
2) Montrer a_n décroissante
3) Montrer b_n croissante
4) Justifier que a_n converge vers L
5) Justifier que b_n converge vers L'
6) Justifier que L = L'
7) Calculer cette limite commune en remarquant que la suite a_n * b_n est constante

PS : Cet exercice est difficile pour le niveau Terminale, il est plutôt de niveau Bac+1

[chloe4559]

1) ok donc pour le fait de montrer que a_n>b_n ça c'est bon
2)montrer que a_n est décroissante ça je suis bloquée
3)montrer que b_n est croissante ça c'est bon
4)la je suis aussi bloquée comme je l'ai dit précédemment
5)justifier que b_n converge vers L' c'est bon car b_n est est croissante et majorée par 2
6)justifier que L=L' j'avais bien compris mais comment faire je ne vois pas
7) j'ai en effet bien trouvé que U_n+1=U_n et donc que U_n=2 mais je ne vois pas comment calculer cette limite commune.

en effet je sors de terminale et je suis en première année de licence de maths physique chimie. Enfin à côté de ça les exercices 1 et 3 sont vraiment très simples, il fallait bien un exercice sur lequel buter

[LB2]

2) Reprends ton calcul de a(n+1)-a(n) qui était faux
4) Un peu plus technique, mais se fait également en calculant la différence b(n+1)-b(n)
6) En passant à la limite dans l'égalité a(n+1) =(a(n)+b(n))/2 par exemple
7) Que vaut L*L'? Quelle est la limite de U_n = a(n)*b(n) ?

[chloe4559]

2) ok je vais réessayer ca
4)de quoi pour trouver que a_n converge je dois faire b_n+1-b_n ?
6)la je ne comprends vraiment pas
7) oui j'ai bien commpris que la limote de U_n=2 et que L*L'=2

[LB2]

Mon indication de 4) était pour 3).

Pour montrer 4) il suffit d'utiliser le théorème de convergence monotone que j'ai énoncé précédemment (toute suite décroissante minorée converge)
6) Opérations usuelles sur les limites finies
7) Oui mais L = L' d'après 6)

[LB2]

attention > et pas <.
Même mieux : a_n > b_n > b_0

[chloe4559]

j'avoue je suis un peu perdue là.

[chloe4559]

si je résume j'ai
limite U_n=2 or U_n=a_n*b_n
donc limite a_n*b_n=2
je peux donc ensuite dire limite de a_n*limite de b_n=2
et donc L*L'=2

une fois que je suis là je ne vois plus que faire.