Espaces vectoriels de dim finie

[mpsi_tony]

Bonjour à tous,

Je suis en mpsi et j'ai un DM de maths à faire pour la rentrée (quoi de plus banal !) mais je suis bloqué sur une question...
"Montrer que si E est un K-ev de dim fine alors l'endomorphisme f de E est de caractère fini" (Caractère fini = il existe (r,s)€N²* tels que K(r+1) = K(r) et I(s+1) = I(s) avec K(x) qui est le noyau de f composée x fois ac elle même et I(x) est son image.

Je pense que r=s=dimension de E et je voulais montrer que K(r+1) et K(r) était engendré par la même base pour montrer leur égalité mais je n'y suis pas parvenu alors j'ai essayé de montrer que dim K(r+1) = dim K(r) et comme K(r) inclus ds K(r+1) j'aurais eu l'égalité mais je n'y pas arrivé non plus !!!

Donc si vous aviez des pistes de recherche ça m'aiderait bcp !!

Merci d'avance.

[tize]

Bonsoir,
tu peux montrer que K(.) est croissant et I(.) décroissant pour l'inclusion dans un espace de dimension fini...

[mpsi_tony]

Oui ça je l'ai montré dans une des questions précédentes !! Mais je ne suis pas parvenu à l'exploiter !

[tize]

et bien pour tout x entier, K(x) et I(x) sont des sous espaces vectoriels d'un espace de dimension fini... comme l'un croît mais est "bloqué" par la dimension, il est nécessairement stationnaire à partir d'un certain rang.
Utilise le fait que si et alors