Question sur non injectif=>non surjectif en dim finie
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Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 15 Mai 2012, 12:41
BJ ,
Soit f une application de E dans F. Avec E et F deux espaces vectoriels de dimension FINIE.
si on montre que c'est pas injectif, est ce que ça prouve aussi que ce n'est pas surjectif.
Car si f n'est pas injective , ça veut dire qu'il y a au moins une image qui contient plus que un antécédent. Et donc je me demandais si cela nentraînait pas le fait qu'ils puissent y'avoir des éléments d'arrivée de F qui ne contiennent aucun antécédents. Et que donc , il n'y aurait pas surjectivité.
Mais comme il y a une infinité d'éléments dans l'ensemble d'arrivée F , et ben ça remet tout en doute. Je ne sais plus trop quoi penser.
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arnaud32
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par arnaud32 » 15 Mai 2012, 13:04
que peux tu dire des dimensions de E, f(E) et F ?
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gdlrdc
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par gdlrdc » 15 Mai 2012, 13:13
faux,Exemples:
l'application nulle f:E vers F={0}.
f n'est pas injective mais elle est surjective
Ou encore f:C^2 (complexes) vers R (réelles)
définie par f(z1,z2) = module(z1)-module(z2)
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Nightmare
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par Nightmare » 15 Mai 2012, 13:35
Hello,
Ton application f est-elle linéaire? Si oui, en dimension finie, linéaire injective <=> linéaire surjective donc si l'un manque l'autre aussi. Pour le voir : théorème du rang.
gdlrdc > Pourquoi ta première application est-elle surjective?
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gdlrdc
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par gdlrdc » 15 Mai 2012, 13:54
Je ne vois pas ou est le problème Nightmare, ou alors une hypothèse m'a échappé.
Sinon, l'équvalence entre injectif et surjectif à l'aide du théorème du rang est valable à la condition que dimE=dimF, il me semble?
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Nightmare
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par Nightmare » 15 Mai 2012, 13:56
Ton application envoie tout les éléments de E sur {0}, comment un élément non nul de F pourrait-il avoir un antécédent?
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gdlrdc
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par gdlrdc » 15 Mai 2012, 14:01
j'ai pris F={0} dans mon exemple
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Nightmare
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par Nightmare » 15 Mai 2012, 14:02
Désolé, je n'avais pas compris ton ={0} ainsi. Tout va bien du coup.
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gdlrdc
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par gdlrdc » 15 Mai 2012, 14:07
faudrait que je me mette au latex pour être plus clair mais j'ai la flemme, désolé ::))
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Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 15 Mai 2012, 14:35
Nightmare a écrit:Hello,
Ton application f est-elle linéaire? Si oui, en dimension finie, linéaire injective linéaire surjective donc si l'un manque l'autre aussi. Pour le voir : théorème du rang.
ben dans ce cas , pourquoi y'a t-il des contre-exemples . Exemple avec la projection. On est dans R^3=E et on a deux sev F(plan) et G(droite) qui sont supplémentaires. Je projette les éléments de E dans G selon F, ben p est surjective mais pas injective.
Dans cet exemple on a donc p := R^3 ->R² et non pas p:=R^3->R^3.
Je crois que ce que tu veux dire c'est que si on aurait eu p:=R^3->R^3 alors elle serait ni inj, ni surj. C'est un peu la même histoire qu'avec gdlrdc quand il a mis F={0} car tu croyais que F n'était pas réduit au vecteur nul ... et qu'il s'agissait surement d'un F= R ou R² ou autres... C'est ça?
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gdlrdc
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par gdlrdc » 15 Mai 2012, 14:40
Soit f: E1 vers E2 linéaire avec E1 et E2 de dim finie
Il faut que E1 et E2 soient de même dimension pour que f bijective équivaut à f injective équivaut à f surjective.
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Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 15 Mai 2012, 14:59
gdlrdc a écrit:Soit f: E1 vers E2 linéaire avec E1 et E2 de dim finie
Il faut que E1 et E2 soient de même dimension pour que f bijective équivaut à f injective équivaut à f surjective.
Ouais donc du coup ma projection vectorielle p si je la défini de R^3 dans R^3.
Bon je pose une condition sur F et G. F={(x,y,z)|x+y=0} et G={(x,y,z)|x=y=z}.. Et donc tous les éléments v de F sont de la forme
du coup p:=(x,y,z)->
et cette application n'est ni injective ni surjective si je comprend bien ..
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Doraki
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par Doraki » 15 Mai 2012, 15:50
c'est une fonction de quel espace vectoriel dans quel espace vectoriel ?
et ça veut dire quoi, X2(x,y,z) ?
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Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 15 Mai 2012, 16:03
Doraki a écrit:c'est une fonction de quel espace vectoriel dans quel espace vectoriel ?
de E dans E.
et ça veut dire quoi, X2(x,y,z) ?
c'est les coordonnées d'un vecteur v
F. v c'est un vecteur du sev F qui est de dim 2. D'après les conditions que j'ai posé dans F, bah on sait que tout vecteur v dans F est de la forme
Après on cherche à projeter grâce à l'AL "p" les éléments de E sur F selon G. On sait aussi que
.
Et donc pour moi , c'est ni inj ni surj ...
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Doraki
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par Doraki » 15 Mai 2012, 16:51
En effet, cette fonction de E dans E n'est ni injective ni surjective.
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Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 15 Mai 2012, 16:59
Cette application peut elle être vue comme p:=E->F ? car
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Doraki
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par Doraki » 15 Mai 2012, 17:16
Oui tu peux restreindre l'ensemble d'arrivée à F, pour obtenir une autre fonction, qui est de E dans F.
Qui n'est pas injective, mais qui est surjective.
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