[resolu]Espaces vectoriels de dimension finie

[dododu30]

Bonjour à tous !
voila je suis allé récupérer des exos de colle que donne un prof de maths,et j'ai quelques petits soucis avec certains ..

1)Montrer que nilpotente => non inversible

Nilpotente de degré 3,par exemple, signifie qu'a la puissance 3, ma fonction est nulle,donc non inversible.
Faut-il simplement dire cela ?

Vrai ou Faux
Soit
a){suites réelles convergentes} SEV de E?
b){suites reelles convergentes de limite 1} SEV de E ?

Pour ces 2 la je ne vois absolument pas comment il faut partir ..

Merci beaucoup a ceux qui pourront m'aider !!
Bonne journée !

[klevia]

Salut, pour la 1, je dirais un truc du style:
il me semble que det (AB)=det A . det B
d'ou det f^n=(det f)^n =0 => det f =0

2) pour le 1er c'est vrai:
-0 appartient aux suites convergentes
-la somme de 2 suites convergentes est une suite convergente
-quand je multiplie une suite convergente par un scalaire, j'obtiens une suite convergent... donc c'est un SEV
par contre pour la 2ème ca bloque à cause de l'élément neutre...

[Quidam]

1)Montrer que nilpotente => non inversible

Nilpotente de degré 3,par exemple, signifie qu'a la puissance 3, ma fonction est nulle,donc non inversible.
Faut-il simplement dire cela ?

Non ! Cela ne suffit pas ! Le théorème de ton cours auquel tu fais référence est : "une matrice nulle n'est pas inversible". Mais ta matrice n'est pas nulle ! Elle n'est que nilpotente !

Je pense qu'on peut dire simplement que si la matrice a une matrice inverse : (I matrice unité), alors on constate que , et que par conséquent, est inversible. Par conséquent le fait que ne soit pas inversible (puisque ), implique que A ne l'est pas.

[ThSQ]

Ou encore si A est non nulle, avec r > 1 alors . A est un diviseur de zéro et donc ne peut être inversible (vrai dans tout anneau).

[dododu30]

Merci pour vos réponses !!
Le souci c'est que je ne peux les comprendre car nous n'avons pas étudié les matrices encore ...
désolé .. il n'y a aucun autre moyen de démontrer que nilpotent implique non inversible ?

Merci encore !!

[Quidam]

Merci pour vos réponses !!
Le souci c'est que je ne peux les comprendre car nous n'avons pas étudié les matrices encore ...
désolé .. il n'y a aucun autre moyen de démontrer que nilpotent implique non inversible ?

Merci encore !!

Les matrices, ce n'est qu'un moyen de représenter des fonctions linéaires. On peut effectuer exactement le même raisonnement directement avec la représentation fonctionnelle !

En effet :

f nilpotente de degré 3 signifie :

Si f est inversible posons (pour simplifier l'écriture). Alors :

...d'une part,
et

...d'autre part.

Ces deux conclusions sont à l'évidence contradictoires !
Par conséquent l'hypothèse selon laquelle f aurait une réciproque est fausse !

[yos]

1)Montrer que nilpotente => non inversible

Nilpotente de degré 3,par exemple, signifie qu'a la puissance 3, ma fonction est nulle,donc non inversible.

Presque : si f inversible alors inversible, or , ...

[dododu30]

Ok c'est noté !!!
Merci beaucoup pour vos réponses !!!

Bonne soirée encore merci !!