Les suites...

par **anais22330** » 26 Déc 2006, 23:13

Je suis complètement perdu sur cet exercice sur les suites, un peu d'aide ne me ferais pas de mal du tout!!
voilà l'exo:

Soit (Un) et (Vn) deux suites réelles définies de la manière suivante :
(Un)=(Un-1+Vn-1)/2
(Vn)=racine carrée de (Un-1.Vn-1)
avec U0>V0>0

1) Montrer que les termes de ces deux suites sont tous positifs
2) Montrer que pour toute valeur de n, Un>=Vn
3) Montrer que la suite (Un) est décroissante et que la suite (Vn) est croissante
4) Les suites (Un) et (Vn) sont-elles convergentes?
5)Montrer que Un-Vn<(Un-1-Vn-1)/2
En déduire une majoration de Un-Vn en fonction de U0-V0
En déduire la limite de la suite (Un-Vn)
6) En déduire la limite des suites (Un) et (Vn)

Merci d'avance pour ceux qui pourront m'aider!!

par **nyafai** » 26 Déc 2006, 23:21

salut
Où est-ce que tu as des problèmes?

par **BQss** » 26 Déc 2006, 23:22

[quote="anais22330"]Je suis complètement perdu sur cet exercice sur les suites, un peu d'aide ne me ferais pas de mal du tout!!
voilà l'exo:

Soit (Un) et (Vn) deux suites réelles définies de la manière suivante :
(Un)=(Un-1+Vn-1)/2
(Vn)=racine carrée de (Un-1.Vn-1)
avec U0>V0>0

1) Montrer que les termes de ces deux suites sont tous positifs
2) Montrer que pour toute valeur de n, Un>=Vn
3) Montrer que la suite (Un) est décroissante et que la suite (Vn) est croissante
4) Les suites (Un) et (Vn) sont-elles convergentes?
5)Montrer que Un-Vn=0
c'est positif et egal à 1/2 (un/V(2) - vn/V(2)*)^2 donc pour tout n u(n)>v(n), parce que on a aussi u0>v0 pour le rang 0.

ca devrait deja te permettre de te lancer.

*V(2) c'est racine de 2

des indications encore:
3)etudie la difference de u(n+1)-un, tu tombes sur (vn-un)/2 or un>vn ...
pour vn etudie la difference entre v(n+1)^2 et vn^2

4)(un) decroissante minorée donc... convergente(c'est du cours)
(un) convergente et donc quelque soit M il existe un rang n0 a partir du quel un<M or vn<un donc vn<M a partir d'un rang n0, donc vn est majorée, comme elle est croissante elle converge.

à toi maintenant.

par **anais22330** » 27 Déc 2006, 10:45

merci pr cet aide,jv essayer de travailler ca mais c'est très flou pour moi...pr répondre à la question où on me demandait où est-ce que je n'arrive pas c'est surtout les deux dernières questions!

par **anais22330** » 27 Déc 2006, 10:47

je voulais savoir, comment ça réccurence immédiat pour la première question?

par **fahr451** » 27 Déc 2006, 11:15

je suis dubitatif pour la 6) la limite commune n'est elle pas la moyenne arithmético géométrique de u0 et v0, qui ne s 'exprime pas (sauf avec une intégrale elliptique)?

pour 1) on definit pour n positif Hn " les réels un et vn existent et sont positifs" (c'est redondant mais ce qui compte c'est bien d'affirmer que les suites existent) On montre Hn par récurrence;H0 est vraie etc...

par **fahr451** » 27 Déc 2006, 13:16

H0 est vraie car u0 et v0 positifs
on suppose Hn alors un et vn sont positifs et donc (un +vn)/2 et racine (un.vn) aussi ce qui prouve que un+1 et vn+1 existent et sont positifs et Hn+1 est vraie..fin d e la récurrence.

par **BQss** » 27 Déc 2006, 14:39

[quote]5)Montrer que Un-Vnv(n) pour tout n donc un-vn et un+1-vn+1 >0 .
donc comme l'application qui a x-->x^2 est croissante sur R+ l'inégalité est aussi vrai pour les antecedents:
donc
u(n+1)-v(n+1)=0

donc
u(n+1)-v(n+1) 0 et 0 0 car encadrée par deux fonctions tendant vers 0

6) les suites sont adjacentes, c'est a dire que
lum(un-vn)=0
un est decroissante et vn est croissante.
donc un et vn converge et ont la meme limite( ce qui aurait pu se deduire du fait que un et vn etant convergente la limite de la difference vaut la difference des limites, la limite de cette difference valant 0 comme ces limites sont finis, un et vn ont la meme limite).

par **BQss** » 27 Déc 2006, 14:58

fahr451 a écrit:je suis dubitatif pour la 6) la limite commune n'est elle pas la moyenne arithmético géométrique de u0 et v0, qui ne s 'exprime pas (sauf avec une intégrale elliptique)?

En tout cas vu que lim de un vn u(n-1) et v(n-1) sont les memes.
Si on remplace par l dans les deux relations de recurrence on ne peut pas conclure.
Parce que cela donne l=(l+l)/2=l
et l=racine(l*l)=l puisque l est positive.

Donc pas de systeme a resoudre.

par **fahr451** » 27 Déc 2006, 15:06

en fait je ne suis pas dubitatif ; la limite commune ne s 'exprime pas.

par **BQss** » 27 Déc 2006, 15:10

fahr451 a écrit:en fait je ne suis pas dubitatif ; la limite commune ne s 'exprime pas.

Oui la la reponse c'est juste il me semble de dire qu'elles ont la meme limite par ce que sont des suites adjacentes, pas de trouver cette limite.

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