Exercice 2nde arithmétique

par **july26** » 19 Déc 2006, 18:29

[FONT=Arial]Bonjour tout le monde, j'ai très beaucoup besoin de votre précieuse aide... :cry:

Les nombres entre paranthèses correspondent à des exposants.
Il me faut démontrer que x+y est un carré avec x = 2(5) X 7(20) X 11(31) et y = 3(5) X 7(20) X 11(31)

J'ajoute que je suis en train d'étudier le chapitre d'arithmétique avec le PGCD, le PPCM, la décomposition en facteurs premiers, le crible d'Eratosthène, etc...

Merci d'avance, je me suis cassé la tête pendant deux heures, sans aucun résultat fructueux.... :mur: [/FONT]

par **Zebulon** » 19 Déc 2006, 18:35

Bonsoir,
commence par factoriser x+y.

par **july26** » 19 Déc 2006, 19:06

Je l'ai fait, ce qui me donne 7(20) X 11(31) X 275, mais je ne sais pas quoi faire ensuite... :cry:

J'ai regardé si 275 était le carré d'un nombre entier, évidemment non, ensuite j'ai essayé de calculer ce super produit, et j'ai obtenu un nombre a rallonge... Aïe Aïe, au secours, aidez-moi...

par **Zebulon** » 19 Déc 2006, 19:10

july26 a écrit:ensuite j'ai essayé de calculer ce super produit, et j'ai obtenu un nombre a rallonge...

Ah oui, ce n'est pas la bonne méthode.
Il faut se souvenir qu'un nombre est un carré si et seulement si les puissances de ses facteurs premiers sont des nombres pairs.
On peut donc écrire

et montrer que 11.(2^5+3^5) est un carré.

par **july26** » 19 Déc 2006, 19:18

[FONT=Arial]Ah oui.... Mais que fait-on de 720 X 1130 ??? Si on multiplie par ces deux facteurs, on obtient quelque chose d'énorme encore une fois... Est-ce suffisant si j'écris ce que tu m'as expliqué?
En tout cas, merci beaucoup pour ton aide, je croyais ne jamais m'en sortir...[/FONT]

par **Zebulon** » 19 Déc 2006, 19:30

Tu as réussi à montrer que

était un carré ?
Après, il te reste à montrer que

est un carré, mais ça c'est facile car les puissances sont paires et on a :

.

par **july26** » 19 Déc 2006, 19:54

[FONT=Arial]Waou... :doh: Merci beaucoup... Je m'endormirais moins stupide ce soir... :we: Vraiment merci beaucoup... Je commençais à désespérer...[/FONT]

par **Zebulon** » 19 Déc 2006, 20:02

De rien.
Bonne soirée et à bientôt !

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