Formes differentielles

[Sameraz]

Bonjour.
Je n'arrive jamais a comprendre une notion dans le contexte des differentielles. Comment considerons-nous les dx, dy, dz, qui pour moi sont des variations infiniment petites de x, y, z, comme une base pour l'espace des formes lineaires?
Si on prend R^2 par exemple. Une forme lineaire sur R^2 est f(x,y)=x+y.
Cette f peut elle vraiment etre exprimee en fonctions des dx et dy? Je comprends pas ce lien. F est une fonction, comment disons nous que les differentielles de x et y forment une base pour un espace de formes lineaires
Et comment ces dx et dy sont les projections des coordonnees des formes differentielles

[tournesol]

dx désigne , dans le contexte des formes différentielles , la fonction abscisse .
dy est la fonction ordonnée .
Utilisation non confuse : dx(h,k)=h , et dy(h,k)=k .
dx et dy sont donc des formes linéaires : ce sont les formes coordonnées .
Toute forme lineaire sur R2 a des images de la forme ah+bk .
Elle est donc combinaison linéaire des coordonnees . Elle est égale à adx+bdy .
Une forme differentielle sur R2 n'est pas une forme linéaire mais une fonction qui , à (x,y) fait correspondre une forme linéaire . C'est donc une fonction de R2 dans L1(R2)
Par exemple : la forme différentielle définie par D(x,y) = peut être considérée comme une forme linéaire à coefficients variables .
On a : (D(x,y))(h,k)=
Cette forme est-elle exacte ?

[Sameraz]

Oui j'ai compris ca, mais ce que je ne comprrnds toujours pas c'est comment les dx et dy sont des formes coordonnees/une base. Si f: R^2->R s'ecrit f(h,k)=ah+bk, donc f= adx+bdy?? Dans la premiere c'est une application lineaire, dans la seconde cest une expression avec des differentielles

[tournesol]

Si t'as compris ça , relis et analyse ce que je t'ai expliqué ; tout est dedans .

[mathelot]

Par exemple, avec la sphère de centre O
r est un réel strictement positif
x,y,z réels
Une équation de est
on différentie:

(*)
ici, au point M de la sphère de coordonnées (x,y,z), l'espace tangent est un plan affine, contenant M, et perpendiculaire au rayon car (*) est interprété comme un produit scalaire.

On peut tracer des courbes (paramètrées) sur la sphère. Ces courbes, au point M, ont un vecteur vitesse.
Ce vecteur vitesse instantanée appartient au plan tangent noté

Exemple:
soit la courbe d'équation

on vérifie que le point N(t) appartient à la sphère .


en différentiant:




on vérifie par un calcul assez long mais ne présentant pas de difficulté que l'on a bien:


Ceci montre , sur un exemple,que les vecteurs vitesse instantanée des courbes tracées sur la sphère
sont des vecteurs du plan tangent. Mieux, l'espace tangent à la courbe, en un point M de la sphère, est une droite , incluse dans le plan tangent d'équation paramètrique de paramètre dt