Congruence

[xGiAx]

Bonjour, je suis en bachelor informatique et cybersécurité donc j'ai besoin des mathématiques ...
j'aimerai savoir comment résoudre un système de congruence :
n ≡ 2 [7]
n ≡ 5 [9]

Notre professeur nous dit que l'on doit trouver la solution particulière et enfin la solution générale.


Merci de votre réponse

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Le théorème des restes chinois, ça ne te dit rien ?
Tu peux remarquer que 7 et 9 sont premiers entre eux. Une identité de Bézout entre 7 et 9 ?
Ou alors, au ras des pâquerettes : veut dire avec . Essaie des jusqu'à en trouver un qui donne un congru à 2 modulo 7. Tu auras alors une solution particulière.

[lyceen95]

La solution au ras des pâquerettes me semble la plus adaptée quand on n'est pas à l'aise en maths. Et même quand on est plus ou moins à l'aise.

Mais déjà, la première étape, c'est de savoir donner quelques exemples de nombres qui vérifient n ≡ 2 [7]
, et quelques autres exemples, pour n ≡ 5 [9]
Une dizaine de nombres dans chacune de ces 2 séries.
Si on sait faire ça, sereinement, alors la suite vient naturellement.

[tournesol]

Je suis un spécialiste du ras des pâquerettes :
Un congruence modulo 9 se calcule en itérant la somme des chiffres .
Donc on part des congruences à 2 modulo 7 : 2,9,16,23 bingo! 2+3=5
Donc n=23 est solution particulière .

[xGiAx]

Bonjour,

Le théorème des restes chinois, ça ne te dit rien ?
Tu peux remarquer que 7 et 9 sont premiers entre eux. Une identité de Bézout entre 7 et 9 ?
Ou alors, au ras des pâquerettes : veut dire avec . Essaie des jusqu'à en trouver un qui donne un congru à 2 modulo 7. Tu auras alors une solution particulière.

Enfaite, j'ai assez bien compris comment faire, en solution particulière je trouve :
2*9 - 7*3 = -3 ce qui fait x = 9 et y = 3 (je met x et y sinon je me perd)

et pour la solution générale, j'ai trouvé x(qui remplace l) = -3 + 2/3*k et y(remplace k) = -7/3*k+9

mais je trouve ma solution générale un peu bizarre et je ne sais s'il y a un moyen de vérifier ça...

[tournesol]

Pour la soluce particulière , je t'ai montré mieux que ça .
Avec cette soluce 23 , tu as :
n congru 2 mod 7 ssi ( n-23) congru 0 mod 7
n congru 5 mod 9 ssi (n-23) congru 0 mod 9
autrement dit , ton système est équivalent à : n - 23 est multiple de 7 et de 9 .
A toi de jouer ...

[xGiAx]

Pour la soluce particulière , je t'ai montré mieux que ça .
Avec cette soluce 23 , tu as :
n congru 2 mod 7 ssi ( n-23) congru 0 mod 7
n congru 5 mod 9 ssi (n-23) congru 0 mod 9
autrement dit , ton système est équivalent à : n - 23 est multiple de 7 et de 9 .
A toi de jouer ...

Oui je sais, mais c'est ce qu'on me demande de faire, avec 23 j'ai compris mais j'ai pas le choix de trouver la solution particulière et ensuite trouver la solution générale
sinon merci beaucoup pour le tuyau