Raisonnement par récurrence

[JeSuisNulEnMathss]

Bonjour , j'ai beaucoup de mal a comprendre comment entamer mon exercice , car il s'agit de deux suites sous forme de système ...

L'exercice :

Démontrer par récurrence que , ∀n ∈ N , ∃(an ; bn)∈ N^2,

{(1 + racine(2))^n = an + bn*racine(2)
{an^2 - 2*bn^2 = ( -1)^n



j'ai commencé par mettre an + bn*racine(2) au carré et ça ma donné an^2 + 2*bn^2 , je sais pas si y'a un lien avec an^2 - 2*bn^2 = ( -1)^n , par ce que la on a une soustration ...?

[mathelot]

.

L'exercice :

Démontrer par récurrence que , ∀n ∈ N , ∃(an ; bn)∈ N^2,

{(1 + racine(2))^n = an + bn*racine(2) (*)
{an^2 - 2*bn^2 = ( -1)^n (**)

autre méthode , commencer tout de suite la récurrence:
multiplie les deux membres de l'égalité (*) par

qu'est ce que ça donne ?

[mathelot]

.

[JeSuisNulEnMathss]

comme ça ?
(an + 2bn)^2
(an - 2bn)^2
mais après je ne sais pas quoi faire de ça ... , je ne comprend pas ou je dois aller avec ce résultat . Surtout que ça ne ressemble pas vraiment au modèle d'un raisonnement par récurrence

[mathelot]

On appelle l'hypothèse de récurrence suivante:


multiplions la 1ère égalité par . Qu'obtenons nous ?

[mathelot]

On appelle l'hypothèse de récurrence suivante:


multiplions la 1ère égalité par . Qu'obtenons nous ?

on obtient

soit

on pose donc


que reste-t-il à vérifier ?

[mathelot]

on vérifie que et appartiennent à N , N étant stable par addition et multiplication

de plus



Le système est donc héréditaire.

Le système est vérifié avec et