Equation fonctionnelle et dérivabilité

[JeSuisNulEnMathss]

j'ai réussi a faire la 1 et la 2 de mon exercice mais je n'arrive pas du tout a faire la 3
voila l'exercice :

On considère une fonction f définie sur R vérifiant l'équation fonctionnelle suivante:
∀x ∈ R , f(2x) = 2f(x)
On suppose que la fonction f est dérivable sur R .
1. Déterminer f(0)
2.Etablir que pour tout entier naturel n et réel x ,
f(x/(2^n)) = f(x)/(2^n)
3. Démonter l'existence d'un réel lambda tel que :
∀x ∈ R , f(x) = lambda * x


Pour le 1 j'ai fait ça :
f(2x) = 2f(x)
f(2x) = f(x) + f(x)
f(x+x) = f(x) + f(x)
Donc si x = 0
f(0+0) = f(0) + f(0)
f(0) = f(0) + f(0)
f(0) -f(0) = f(0) + f(0) - f(0)
f(0) = 0

Pour le 2 j'ai fait ça :
Si f(2x) = 2f(x)
f(x) = f((2^n)*x) par récurrence
alors f((2^n)*x) = (2^n)* f(x)
Et donc si f(x/(2^n))
Alors f(x)/(2^n)
f(x/(2^n)) = f(x)/(2^n)

Après je bloque sur la 3...

[GaBuZoMeu]

BONJOUR,

Tu devrais soigner la rédaction du 2).
Pour le 3), il y a une hypothèse sur f que tu n'as pas encore utilisée : f est dérivable.
En fait, la dérivabilité en 0 suffit ; exploite-la en te servant du résultat de la question 2.

PS. Ton pseudo est mal choisi : il donne le sentiment que c'est peine perdue d'essayer de t'aider. Montre que ce n'est pas le cas.

[JeSuisNulEnMathss]

mais comment on peut dérivé une fonction f ? On sais certe que f(0) = 0 mais a quoi servirait une dérivé si meme sans elle ça donne le meme resultat car si je fais :
f(0)/ 2^n
= 0/ 2^n
= 0
et je ne pense pas qu'on puisse dérivé à l'interieur d'une fonction , f(x/2^n) et dérivé juste x/2^n
Donc je ne sais vraiment pas comment faire avec cette 3eme partie ... ,

[GaBuZoMeu]

L'hypothèse de dérivabilité est essentielle pour la question 3.
Comme je te l'ai déjà dit, il suffit en fait de la dérivabilité en 0.
Pour l'utiliser, il faut commencer par savoir ce que ça veut dire. Peux tu écrire ce que veut dire "f est dérivable en 0 et " ?