Dimension et base d'un sous espace réel.

[Jalled]

Soit $(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3)\in \R^6.$ et soit

$$\textbf{(H)} \ \left\{\begin{array}{ccllll}
2x_1+x_2-y_2-2y_3&=&0 & \\
y_1+3y_3+x_3-1&=&0&\\
\end{array}\right.
$$
question: quel est la dimension de H\\
(est-il de dimension 4)\\
si H est de dimension 4 peut-on trouver une base

[pascal16]

comme x1 n'est présent que dans la première équations, elles sont indépendantes, la dim est donc 4

on peut donc laisser libre (x2,y2,x3,y3) et écrire x1=f (x2,y2,x3,y3) , y1=g( x2,y2,x3,y3)

[Jalled]

Merci pour la réponse. on a le -1 dans la deuxième équation pouvez vous me donner s'il vous plait une base de 4 vecteurs de H

[GaBuZoMeu]

Si les équations sont bien celles que tu écris, alors l'ensemble des solutions n'est pas un sous-espace vectoriel, donc parler de base est une erreur.
C'est un sous-espace affine.

[Jalled]

Merci pour votre réponse oui les équations sont les suivantes
2x_1+x_2-y_2-2y_3=0
y_1+3y_3+x_3=1
on peut donc laisser libre (x2,y2,x3,y3) et écrire x1=f (x2,y2,x3,y3) , y1=g( x2,y2,x3,y3)
mais la deuxième équation est égale à 1??

[GaBuZoMeu]

Oui, et alors ? Ce n'est pas un système linéaire homogène, les solutions ne forment pas un espace vectoriel mais un espace affine, comme je l'ai déjà écrit.

[Jalled]

ahh oui vous avez raison. Merci bien pour la réponse.

[pascal16]

suite au MP : je n'ai jamais fait la théorie des bases des ssev affines, mais il me semble logique de trouver un vecteur appartenant au ssev affine et d'écrire que le ssev affine est ce vecteur + une base du sev vectoriel (avec des 0 comme second membre).