Trouver une base et la dimension de l'espace d'un système

[Jerem7871]

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[Ben314]

Salut,
La première étape "tripatouiller le système pour l'écrire sous une forme différente), ben c'est un peu ça le "but du jeu" (au niveau des calculs) en math, c'est à dire transformer une/des égalité(s) en autre(s) égalité(s) qui soient plus facilement interprétable.
C'est par exemple exactement ce qu'on fait lorsque l'on tripatouille 3X+2=5 pour obtenir X=1.
Bon, là évidement, l'exemple est "super simple" vu que le tripatouillage à conduit à trouver la et la seule valeur de X qui marche, mais déjà, un truc du style 3X+2=(5X+1)-(2X-3), si on essaye le tripatouillage classique, ça conduit à 2=4 et là, ben faut réfléchir à ce que ça signifie : normalement, la question posée, c'était "quels sont les X qui marchent" et là, 2=4, en fait, ça dépend pas de X et c'est toujours faux donc le bilan, c'est qu'il n'y a aucun X qui marche.
De même 3X+2=(5X+1)-(2X-1) conduit à 2=2 qui ne dépend pas de X et qui est vrai donc face à la question "pour quels X ça marche", il faut répondre "pour tout les X".
Pour les système, c'est la même chose, mais c'est forcément un peu plus compliqué vu qu'il y a plusieurs variables (par contre le truc qui est pareil, c'est qu'on cherche quelle valeur il faut prendre pour les variables pour que ça marche). Comme dans le cas d'une seule variable, dans les "cas favorable", on va trouver une unique solution gentille : la seul façon pour que ça marche, c'est de prendre X=??, Y=???, etc.
Mais on trouvera aussi bien sur des cas où il n'y a pas de solutions, mais attention, dans un système "homogène" comme le tient, ça saute au yeux dès le départ qu'il y a au moins une solution, à savoir x=0 ; y=0 ; z=0 ; s=0 ; t=0 donc en fait la question qui se pose, c'est plutôt de savoir s'il y a d'autres solutions que celle là.
Et, évidement, on va aussi trouver des cas où il y a une infinité de solution et si on cherche le cas le plus simple qui peut venir à l'esprit, c'est sans doute X+Y=0 (deux inconnues et une seule équation). Il est évident qu'il y a des tonnes de solutions (X=3; Y=-3 ou bien X=5,Y=-5, etc...) et on peut se demander quelle est la façon la "plus simple" de l'écrire. Et là, en général, ce que le matheux se dit, c'est qu'en fait on peut choisir UNE des deux variable au pif (X ou Y) mais qu'une fois la valeur de cette variable choisie, il n'y a pas le choix pour l'autre.
Au niveau "écriture", ça revient tout bêtement à écrire que :
X+Y=0 <=> Y=-X avec X quelconque (X tiré au pif puis plus le choix pour Y) [qu'on peut évidement écrire X=-Y avec Y quelconque] (*)
Ou alors écrire (ce qui revient évidement au même)
X+Y=0 <=> X=t et Y=-t avec t quelconque : ça peut sembler un peu bizzare de l'écrire comme ça vu que ça dit clairement la même chose qu'au dessus, mais ça peut éventuellement être un peu plus pratique à manipuler sous cette forme si on a d'autres calculs à faire ensuite.

Pour en revenir à ton système, si effectivement tu ne t'es pas gouré, il se ramène à x+2y-z=0 ; s=0 ; t=0 et pour l'écrire sous forme "usuelle", il te suffit décrire que la première équation, en fait ce qu'elle dit, c'est que x=z-2y où on peut choisir à la fois y et z de façon complètement arbitraire (mais qu'ensuite, y'a plus le choix pour x).
[Evidement on pourrait écrire à la place z=x+2y avec y et z quelconques ou bien y=(z-x)/2 avec x et z quelconque]


(*) Perso., j'impose a mes étudiants d'écrire systématiquement ce "avec ? quelconque" pour que le "sens" de l'écriture précédente X=-Y ou Y=-X soit parfaitement clair : on en choisi un au pif et y'a pas le choix pour le deuxième.

[zygomatique]

salut

pour éviter ce "avec ?? quelconque"" on peut aussi écrire que le système est équivalent au système :

x = x
y = y
z = x + 2y
s = 0
t = 0

l'égalité x = x étant vraie pour tout x ... ben x est quelconque ...

évidemment en écrivant correctement la réponse en français :

les solutions sont les quintuplet (x, y, x + 2y, 0, 0) avec x et y réels quelconques

on est obligé d'écrire ce ""avec ... quelconques""

[aviateur]

Pardon je n'ai pas vu les réponses...
Bonjour
On désigne par S l'ensemble des solutions.
On a un système linéaire de la forme AX=0. Donc l'ensemble des solutions S=Ker A.
Remarque: A "va" de R^5 vers R^3 et d'après le th du rang dim Ker A + rg A=5.
Comme le rang de A est au plus 3. L'ensemble des solutions est de dim au moins 2.

Ton système est équivalent à
x+2y-z=0; s=0; t=0.
Donc il est de rang 3 et S=Ker A est de dimension 2:
S est l'ensemble des (x,y,z,s,t) de la forme (x,y,x+2y,0,0)=x(1,0,1,0,0)+y(0,1,2,0,0)
(1,0,1,0,0) et (0,1,2,0,0) forment donc une base de S.

[Ben314]

Je sais que perso., avec mes étudiants, j'écrit plutôt ça
X+Y=0 <=> Y=-X avec X quelconque
que ça
X+Y=0 <=> X=t, Y=-t avec t quelconque
mais je constate qu'effectivement avec quelques étudiants (pas très nombreux), il y a un petit soucis au début lorsqu'on leur demande d'écrire les solutions sous la forme (X,Y)=(?,?) : il voient bien qu'il faut mettre "-X" pour le Y, mais des fois ça pose un léger problème de comprendre que, vu que Y est "quelconque", il faut bêtement mettre "Y" pour Y : (X,Y)=(-Y,Y) avec Y quelconque.

A mon avis, ça risque d'être plus ou moins pour ça que certain auteurs privilégient dès le départ l'écriture X=t ; Y=-t introduisant une troisième variable vu que là, il n'y a aucun doute, les solution, c'est (X,Y)=(t,-t) avec t quelconque.

[Jerem7871]

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[aviateur]

par contre Aviateur je ne comprends pas les notations, le rang et le Ker, je les ai vues en cherchant tout à l'heure mais je ne pense pas avoir vu ça encore.

Donc tu mets cela de côté pour l'instant.

[Ben314]

C'est ce que j'ai fait en cherchant sur le net, mais je sais pas si les dimensions etc sont correctes

Oui, c'est bon.

Après, si ça t'intéresse, en fait la dimension, tu la connait dés que tu sait combien de variables on peut "tirer au pif" (donc ici 2 variable qu'on peut choisir au pif parmi x,y,z puis y'a plus le choix pour la troisième de x,y,z, ni pour s et t).
Et si on veut une justification un peu "carrée", ça provient du fait que, vu la façon dont tu as procédé pour obtenir tes vecteurs, ils formeront forcément une famille libre (vois-tu pourquoi) ?

[Jerem7871]

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[Ben314]

Hum, vu la disposition de tous les 0 ça se voit qu'ils sont libres? Sinon je ne vois pas!

Oui, c'est bêtement ça : du fait que les "paramètres qu'on tire au pif", c'est en fait des coordonnées, ça fait que tes vecteurs il contiennent à l'endroit des coordonnées en question des truc style (0,0..,0,1,0,...0) avec les 1 placés à des endroits différents donc c'est clair que c'est libre (on peut pas faire un 1 avec des combinaison linaires de 0 !!!)

Pour poser une autre question, dois-je créer un autre sujet ou il est possible de la poser à la suite de celui-ci ?

Comme tu le sent : Si ça continue à "à peu prés coller" au titre que tu as donné au post, pourquoi pas rester sur le même...