Espace vectoriel sur un sous-corps réel.

[yos]

l'ensemble des extentions de Q qui ne contiennent pas . Cet ensemble inductif

Pourquoi inductif? et sont éligibles mais pas le corps composé des deux.

[leon1789]

J'avais essayé des constructions comme ça.
Si on n'y met pas , on doit pas y mettre ni ...
A la fin ça fait du monde entre ton élément maximal K et le corps R. pour la dimension finie c'est pas gagné.

C'est pourtant ce qui se passe pour C/R : on enlève les racines de -1, et ses propres racines, etc... et pourtant on reste en dimension 2.

[leon1789]

Pourquoi inductif? et sont éligibles mais pas le corps composé des deux.

Un ensemble partiellement ordonné (ici, les sous-corps de R) est inductif si toute partie totalement ordonnée (typiquement une famille de sous-corps comparables) admet un majorant (la réunion de tous les sous-corps de cette famille).

[yos]

C'est pourtant ce qui se passe pour C/R : on enlève les racines de -1, et ses propres racines, etc... et pourtant on reste en dimension 2.

Oui c'est vrai : la dimension peut rester finie.

Un ensemble partiellement ordonné est inductif si toute partie totalement ordonnée admet un majorant

En effet : je connais pas mes définitions.

Reste à voir ce qu'on peut faire avec ce K(x) dont parle Nightmare : j'y penserai.

[ffpower]

c etrange que K ne convienne pas et K(x) si.en effet,x est algebrique sur K,donc K(x) est juste une extension finie de K..

[yos]

Il faut prendre x hors de K sinon on n'avance pas. Un tel x existe-t-il? Seul R contient tous les transcendants et donc ça doit marcher

K(x) contient par maximalité de K.

[leon1789]

Il faut prendre x hors de K sinon on n'avance pas. Un tel x existe-til?

Soit x transcendant sur Q. Si x appartient à K, alors (transcendant sur Q également) n'appartient pas à K. Quitte à changer en x, on peut effectivement supposer que K ne contient pas x.

K(x) doit contenir par maximalité de K.
.

[yos]

Un tel x existe-t-il? Seul R contient tous les transcendants et donc ça doit marcher

J'avais répondu à ma propre question mais c'est pas grave.

[leon1789]

J'avais répondu à ma propre question mais c'est pas grave.

oui, mais qu'entends-tu par > ?

[leon1789]

Seul R contient tous les transcendants

Pourquoi n'existe-t-il pas un sous-corps réel E tel que où tous les sont algébriques sur Q ?

[ffpower]

peut on avoir la soluce?je cale :marteau:

[yos]

Il y a un théorème d'Artin qui dit que si la cloture algébrique d'un corps K est de degré fini sur K, alors . Je vais regarder si je comprend la preuve.
En tout cas, voilà de quoi abandonner tout espoir.

[ffpower]

wow,c gros ca...et du coup,c est mal barré ouai

[yos]

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/enseignement/IMG/pdf/TERsujets09.pdf

Voici une référence pour ceux qui douteraient : Nightmare s'est donc planté ou a de mauvaises sources.
Le théorème d'Artin-Schreier que j'ai cité plus haut est pas très dur à prouver en fait. Il nécessite le cas simple de la théorie de Kummer (caractérisation des extensions lorsque K contient les racines n-ème de 1). Il y a aussi un autre point technique qui me semble contournable en caractéristique 0 (notre cas). On trouve ça dans les bouquins suivants :
- Ribenboïm, l'arithmétique des corps;
- Bourbaki, algèbre, ch. V, exercice 11.

[SimonB]

J'aimerais quand même bien voir Nightmare revenir par ici pour nous dire ce qu'il en pense ! :)

[Nightmare]

J'aimerais quand même bien voir Nightmare revenir par ici pour nous dire ce qu'il en pense !

Salut à tous :happy3:

Effectivement après relecture de vos posts ma preuve n'est pas bonne ! L'extension qu'on obtient est de dimension dénombrable mais pas finie ...

Bon, si on appelle K un tel corps. Considérons l'extension . Elle est finie et galoisienne donc il existe un sur-corps K' de K(i) strictement contenu dans et tel que premier

On montre que K' contient toutes les racines p-ème de l'unité et que comme le signal Yos on en déduit que avec x dans K'.

Le polynôme minimal de est irréductible dans et si p est différent de 2, on montre qu'il y a contradiction avec le caractère algébriquement clos de puisque serait irréductible.

Finalement p=2.
Mes calculs mènent alors à ce qui amène à une autre contradiction.