Dm maths 2nde

[fleurcerise]

Les dirigeants d'une entreprise qui fabrique et vend des objets décoratifs ont constatés qu'ils pouvaient modéliser leurs bénéfices par la fonction f définie sur [0;10] par:
f (x)=(x-1)(7-x)

où x est le nombre de centaines d'objets fabriqués et vendus par jour et
f (x) est le bénéfice correspondant exprimé en centaines d'euros

Question
1- développer et réduire f (x)
2-Démontrer que: f (x)=-(x-4)²+9
3-en déduire que. pour tout réel x de l'intervalles [0;10], f (x)<=9
4-résoudre par le calcul l’équation f (x)=8

[Robinoub]

Bonjour,

1) f(x) = (x-1)(7-x) = 7x - x^2 - 7 + x = - x^2 + 8x - 7

2) f(x) = - x^2 + 8x - 7 = - x^2 + 2*4x - 16 + 9 = - (x^2 -2*4x + 4^2) + 9 = - ( x - 4)^2 + 9

3) 0 <= x <= 10

Donc :

-4 <= x - 4 <= 6

Donc :

| 16 >= (x-4)^2 >= 0 par décroissance de la fonction carré sur ]-oo ; 0]
| et
| 0 <= (x-4)^2 <= 36 par croissance de la fonction carré sur [0 ; +oo[

Donc :

-16 <= - (x-4)^2 <= 0

Donc :

-7 <= f(x) <= 9

Donc :

f(x) <= 9

4) On a les équivalences :
f(x) = 8 <=> - (x-4)^2 + 9 = 8
<=> (x-4)^2 = 1
<=> (x-4)^2 - 1 = 0
<=> (x-4-1)(x-4+1) = 0 (identité remarquable : 1^2 = 1)
<=> (x-5)(x-3) = 0
<=> x-5 = 0 ou x-3 = 0
<=> x = 5 ou x = 3

Voilà

[fleurcerise]

le 1 ca va j'ai compris mais apres je comprends rien du tout
pour le 2) comment tu passes de ca (- x^2 + 8x - 7) à ca ( - x^2 + 2*4x - 16 + 9) ca veut dire que tu fait au pif pour trouver quelle difference donne -7
et le 3) on a pas du tout fait ca en classe du coup j'ai pas vraiment compris ce que tu as ecrit

[Sa Majesté]

2-Démontrer que: f (x)=-(x-4)²+9

Le plus simple est de développer et de constater que tu retrouves l'expression du 1)

3-en déduire que. pour tout réel x de l'intervalles [0;10], f (x)<=9

Puisque (x-4)² est un carré, on a pour tout x réel :
Donc en multipliant les 2 membres de l'inégalité par -1, on obtient :
Et en ajoutant 9 aux 2 membres de l'inégalité :

4-résoudre par le calcul l’équation f (x)=8

Il faut choisir parmi les 3 expressions de f celle qui simplifie cette équation et permet de la résoudre

[fleurcerise]

2-Démontrer que: f (x)=-(x-4)²+9

Le plus simple est de développer et de constater que tu retrouves l'expression du 1)

3-en déduire que. pour tout réel x de l'intervalles [0;10], f (x)<=9

Puisque (x-4)² est un carré, on a pour tout x réel :
Donc en multipliant les 2 membres de l'inégalité par -1, on obtient :
Et en ajoutant 9 aux 2 membres de l'inégalité :

4-résoudre par le calcul l’équation f (x)=8

Il faut choisir parmi les 3 expressions de f celle qui simplifie cette équation et permet de la résoudre

le probleme cest que moi je trouve -x²+8x+16-9
du coup ca me donne 7 pas -7

[WillyCagnes]

bjr
2) f(x) = - x² + 8x - 7 = - x² + 2*4x - 16 + (9)

en mettant le signe moins devant la grande parenthèse ,on change le signe devant les 2 er termes en x² et x
=-[ x² - 2*4x + 16] + (9)

= - ( x - 4)² + (9)
=- ( x - 4)² + 3²

soit aussi 3²-(x-4)²= (A+B)(A-B)=(3+x-4)(3-x+4)=(x-1)(7-x)

[fleurcerise]

bjr
2) f(x) = - x² + 8x - 7 = - x² + 2*4x - 16 + (9)

en mettant le signe moins devant la grande parenthèse ,on change le signe devant les 2 er termes en x² et x
=-[ x² - 2*4x + 16] + (9)

= - ( x - 4)² + (9)
=- ( x - 4)² + 3²

soit aussi 3²-(x-4)²= (A+B)(A-B)=(3+x-4)(3-x+4)=(x-1)(7-x)

merci