[Algèbre linéaire] Intersection, somme d'EV

[Majaspique]

Bonjour, je rencontre quelques problèmes avec cet exercice d'algèbre :

Énoncé :
Soit
F l'ensemble des éléments de E de période 1
G l'ensemble des éléments de E de limite nulle en
On admet que F et G sont SEV de E

a) Démontrer que
f=0 est élément de E, 1-périodique et de limite nulle en donc
Je ne vois pas trop comment démontrer l'autre inclusion.

b) A-t-on : F+G = E?
Non, par exemple avec la fonction x→x², elle est bien élément de E mais pas de F ni de G, donc pas de F+G. Je ne suis cependant pas sûr de ma réponse, je pense qu'il faudrait montrer que x² ne peut pas s'écrire comme somme d'une fonction 1-périodique et d'une fonction de limite nulle en +

Merci d'avance pour votre aide !

[Mimosa]

Bonjour

Pour la réciproque de a) remarque qu'une fonction périodique non nulle ne peut pas tendre vers 0 à l'infini.

b) Montre que toutes les fonctions de sont bornées.

[jlb]

Le truc est de considérer une fonction appartenant à F inter G
Ton objectif est de montrer que f est nulle, donc pour n'importe quel x réel, que f(x)=0
Comme tu as des infos sur la nullité en + l'infini, cela invite à montrer que pour tout epsilon positif, |f(x)|<epsilon.

Du coup, ton boulot: tu prends un réel x quelconque et un epsilon réel positif quelconque et tu doit expliquer pourquoi |f(x)|<epsilon. Je te laisse chercher ce n'est pas dur ( commence par traduire ce que signifie f appartient à G et trouve ensuite un moyen de te raccrocher à l'hypothèse f appartient à F)

Sinon, ton idée est bonne.

[jlb]

à Mimosa: bonjour, tu es certain(e) de ton indication? une fct de période1 n'est pas forcément bornée, non?

[Mimosa]

à jlb: Bonjour. Tu as raison, j'ai supposé la continuité! Le résultat reste vrai, mais c'est un tout petit peu plus subtil!

[mathelot]

Bonjour,
La fonction definie par
F(x) =1/x si x non nul
F(0)=0
Appartient à G et n'est pas bornée

[chan79]

b) A-t-on : F+G = E?
Non, par exemple avec la fonction x→x²

oui
si x²=f(x)+g(x) avec f dans F et g dans G
f aurait comme limite en +
impossible compte tenu de sa période

[tournesol]

Supposons que pour tout réel x , on ait avec f 1périodique et g de limite nulle en .
Il existe A réel tel que entraine
Soit
Pour tout entier naturel n , on a
On obtient une contradiction en faisant tendre n vers

[tournesol]

doit être positif et une erreur dans mon avant dernière ligne car seule f est 1 périodique .


or , donc et donc
La suite de terme général est donc bornée.
Mais elle tend vers ce qui est contradictoire .

[LB2]

b) Montre que toutes les fonctions de sont bornées.

Bonjour,

attention, sans hypothèse de continuité, il n'est pas vrai qu'une fonction périodique (même définie sur R...) soit bornée. J'ai malheureusement dit la même bêtise à un élève en colle.

Contre exemple : f définie sur [0,1[ par et rendue 1-périodique par

En particulier, il existe des fonctions de F, donc trivialement de F+G, non bornées.
En modifiant un peu cet exemple au voisinage de + l'infini, on pourrait aussi construire des fonctions de G définies sur \R et non bornées (pour appuyer le propos de @mathelot)

Cependant, la fonction x->x^2 n'est pas dans F+G, pour démontrer cela on peut raisonner par l'absurde, comme l'a mentionné @chan79. Démonstration rigoureuse : Si tel était le cas, elle s'écrirait x^2=f(x)+g(x), on aurait également (x+1)^2=f(x)+g(x+1), et donc par différence 2x+1 = g(x+1)-g(x) avec g qui tend vers 0 lorsque x tend vers + l'infini, ce qui est absurde.

[tournesol]

Très belle démo LB2

[chan79]

b) A-t-on : F+G = E?
Non, par exemple avec la fonction x→x²

oui
si x²=f(x)+g(x) avec f dans F et g dans G
f aurait comme limite en +
impossible compte tenu de sa période

A noter que toutes les fonctions qui tendent vers en sont des contre-exemples

[LB2]

b) A-t-on : F+G = E?
Non, par exemple avec la fonction x→x²

oui
si x²=f(x)+g(x) avec f dans F et g dans G
f aurait comme limite en +
impossible compte tenu de sa période

A noter que toutes les fonctions qui tendent vers en sont des contre-exemples

Ma démonstration ne fonctionne pas pour toutes ces fonctions là (j'ai l'exemple de en tête).

Comment démontrer simplement que si f est 1 - périodique, alors elle ne peut pas tendre vers en ? (ce qui entrainera facilement le résultat)

[chan79]

Comment démontrer simplement que si f est 1 - périodique, alors elle ne peut pas tendre vers en ? (ce qui entrainera facilement le résultat)

si f(0)=a alors f(n)=a pour tout entier naturel n
soit M=a+1
il n'existe pas de A tel que, pour tout x>A, f(x)>M
en effet f(x)=a=M-1 pour tout entier x

[tournesol]

Ma démonstration ne fonctionne pas pour toutes ces fonctions là (j'ai l'exemple de en tête).

Elle fonctionne ta démo LB2 : , etc

[LB2]

Merci @tournesol et @chan79, j'avais en tête un argument comme @chan79 mais je n'arrivais pas à le formuler simplement