Algebre linéaire intersection de plan

[Vlad-Drac]

Soit F engendré par les vecteur (1,0,1) et (1,-1,0)
G " " (2,1,1) et (0,1,2)
determiner l'interesction des deux plans.

j'ai 2 petite question :/
cela reviens il a resoudre le systeme
x+y+z=0 |
x'+y'+z'=0 |
ou , x+y+z est lequation cartesienne du 1er plan et x'+y'+z' celle du 2eme ?

et si oui comment je peux tirer ces equation de plan a partir de leurs bases ?

:hein:

[Ben314]

L'idée est bonne mais les équations ne le sont (évidement) pas.

Pour trouve une équation d'un plan en dimension 3 (ou d'un hyperplan en dim n) dont on connait deux vecteurs générateurs V1 et V2, il suffit d'écrire :
U:(x,y,z) appartient à vect{V1,V2} la famille U,V1,V2 est liée
puis, comme on a trois vecteurs en dimension 3,on utilise un ...

Ensuite, pour trouver l'intersection de deux s.e.v., il est souvent malin (mais pas obligatoire) d'avoir les équations paramétriques de l'un (i.e. une base) et cartésienne de l'autre car, dans ce cas, il suffit de ...

[Vlad-Drac]

tres bien, donc
det{U,V1,V2} =0
or det {U,V1,V2} = x+y-z
pareil pour la seconde famille de vecteur j'obtiens:

x+y-z=0
x-4y+2z=0

par contre je n'ai pas saisie ton astuce pour parametrer une des deux équation :(

ca mb ? :
je pose x=1
je resoud 1+y-z=0 1-4y+2z=0
jobtien x=1 y=3/2 z=5/2


l'intersection est le plan engendré par le vecteur ( 1, 3/2 , 5/2)
c'est pas tres clair dans mon esprit tous ca :briques:


edit: ...la droite engendré par ... plutot :O

[Ben314]

C'es impec, sauf peut être qu'il vaut mieux commencer à résoudre le système
x+y-z=0
x-4y+2z=0
AVANT de 'poser' x=1 (il est possible q'il n'y ait pas de solution au système avec x=1)

L'astuce avec paramétrique<->cartésien est que ca évite de résoudre un système :
Le premier plan a pour équation CARTESIENNE : x+y-z=0
Le second plan a pour équation PARAMETRIQUE : x=2s ; y=s+t ; z=s+2t ( c'est s.(2,1,1) + t.(0,1,2) )
Il suffit alors de substituer pour trouver une relation entre s et t :
2s+(s+t)-(s+2t)=0 <=> 2s-t=0 <=> t=2s
puis on reporte x=2s ; y=s+t=3s ; z=s+2t=5s
qui donne une équation PARAMETRIQUE de l'intersection.