Problème nombres complexes

[Majaspique]

Bonjour,
je rencontre des difficultés face à ce problème :

Soit G l'ensemble des nombres complexes de la forme m+ni avec m et n entiers relatifs. A tout point z du plan complexes, on associe le nombre k(z) des points p de G tels que |z-p| < 1.

1°) Démonter que si la partie réelle x et la partie imaginaire y de z sont des entiers alors k(z) = 1.

Je ne vois pas trop comment faire, je n'ai pas vraiment compris comment k(z) est défini

2°) Démonter que pour tout nombre complexe z on a :
k(z) = k(z+1) = k(z+i) = k(iz) = k()
En déduire que pour tout nombre complexe z, il existe un nombre complexe z' = x'+iy' vérifiant :
et k(z) = k(z')

Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance.

[aviateur]

Bjr
Il faut tout de même penser à une feuille quadrillée ou les carreaux sont des carrés de côté= 1.
Alors moralement G c'est les sommets des carrés.
Pour la question 1 z est dans G et |z-z|=0. Mais tout autre sommets p de G est à une distance >=1 de z, i.e |z-p|>=1 ---->k(z)=1.

[Majaspique]

Ahhh donc k(z) c'est le nombre de points existants vérifiant la propriété au temps pour moi je n'avais pas du tout compris l'énoncé, merci.
Pour la première partie de la question 2, géométriquement, il se produit que le cercle autour des nombres est le même donc il contient autant de points pour les 4 autres cas. Mais doit-on démontrer cela avec des calculs? car si oui, je ne vois pas comment faire;

[aviateur]

Rebonjour
Pour la deuxième question:
Les transformations z--->z+1, z---> z+i, z--->iz et z---->conjugué de z sont toutes des isométries du plan qui laissent globalement invariant G. On note f l'une quelconque des ces isométries..
Soit z un point du plan et D=D(z,1) le disque ouvert (i.e l'intérieur du cercle ) de centre z et de rayon 1 alors son image par f est le disque ouvert D'=D'(f(z),1).
Donc tout point p de G dans z a son image f(p) est aussi dans G et dans D'. Et inversement tout point p' de G et dans D' a son antécédent f^{-1}(p') dans G et dans D.
Autrement dit il y a une correspondance biunivoque entre les points de et
Ce qui veut dire que