Problème sur les nombres complexes

[Tenakah]

Bonjour à vous,

Voilà je me remet aux Maths pour la préparation d'un concours après avoir arreté les études depuis 2 ans.J'ai un problème sur les nombres complexes sur lequel je bloque, je pense que c'est un classique, il me rappelle même quelques trucs.

L'énoncé :

Soit z1,...,zn n nombres complexes montrer que :

Que la somme des modules des n nombres = module de la somme des n nombres z1,...,zn ont le même argument.

C'est plutôt trivial dans un sens en passant par la notation trigonométrique.

Supposons que les nombres ont le même argument.



En passant au module ca va tout seul.

Par contre dans l'autre sens je sèche pour le démontrer même si je le conçois géométriquement.

[R.C.]

Bonjour,
Je te conseilles de regarder le cas n=2 pour commencer, et faire un peu de geometrie plane et de trigonometrie.

[Maxmau]

Bj

| z1 + z2 + z3 +…….+ zn | <=
| z1 + z2 | + | z3 | + | z4 | + …………+ | zn |

[Tenakah]

Bon en me placant à l'ordre n=2

(Je me place dans le cadran [0,Pi/2], je généraliserai plus tard)

z1=a1+ib1
z2=a2+ib2

Il faut que je démontre que



Implique que z1 et z2 ont le même argument

soit arctan(a1/b1) = arctan(a2/b2)

[Maxmau]

Bj

La condition (A) : |z1| + |z2| = |z1+z2|
ne se traduit pas par ta relation (1)
Pour montrer que (A) entraîne que z1 et z2 ont même argument, tu peux procéder de la manière suivante :
Pose z2/z1 = ;) exp(i;)) où ;) est positif , d’où : z2 = ;)exp(i;))z1
(A) s’écrit 1 + ;) = | 1 + ;)exp(i;))|
Termine en montrant que cette relation entraîne : ;) = 0 mod2;)

[Tenakah]

Pardon ma relation est fausse :

C'est



Ceci dit elle ne fait guère avancer.

Donc si je suis ton idée j'arrive à







p étant non nul 8 = 0 + 2.k.Pi

[Maxmau]

Oui c'est ça
Donc z2 = ;)z1 où ;) positif
Et donc z1 et z2 ont même argument

rem: le cas où l'un des 2 complexes z1 ou z2 est nul se traite de façon évidente