Complexe

[Mael62]

Bonjour,

Je ne comprends pas comment faire cet exercice :

Si z = x + iy avec x et y des réels telle que z <> 0, calculer Re (1/Z) et Im (1/Z)

Dans un exercice type déterminer partie réelle et partie imaginaire de z = ((1+2i)/(1-2i)) j'y arrive, il suffit de multiplier le dénominateur et le numérateur par le conjugué du dénominateur, mais la je ne vois pas ce qu'il faut faire

[Sa Majesté]

Salut,
Il faut faire la même chose.
Commence à écrire 1/z puis multiplie le dénominateur et le numérateur par le conjugué du dénominateur.

[Mael62]

Aaah mais oui je pensais plus au i^2 = -1
En faisant ca on trouve une identité remarquable au dénominateur ce qui donne (x+iy)/(x^2+y^2)
Et donc Re (1/Z) = x/(x^2+y^2)
Im (1/Z) = i * (y/(x^2+y^2))

[Sa Majesté]

Erreur de signe pour la partie imaginaire. D'autre part, la partie imaginaire est un réel.

[Mael62]

Je ne comprends pas ta réponse, en trouvant ca = (x+iy)/(x^2+y^2) je trouve
x/(x^2+y^2) + i * (y/(x^2+y^2)) donc je ne vois pas ou est mon erreur de signe...
Et pour mon imaginaire qui serait un réel, le i est en trop peut être ?

[Carpate]

Ben oui, la partie réelle de z= x+iy est x et sa partie imaginaire est y et non iy
z= Re(z) + i Im(z)

[Mael62]

Yes j'y pensais plus non plus haha
Autre question qui n'a rien a voir mais ton "z= Re(z) + i Im(z)" m'y a fait pensé :
Avec la formule : Z + conjugué (Z) = 2 Re (Z) j'ai essayé de trouver le réel de (1-i)(3rac(2)-i*rac(7))
Donc j'ai fait Re = 1/2 * [((1 - i ) * (3rac(2) - i * rac(7)) + ((1 + i) * (3rac(2) + i * rac(7))]
Et je trouve donc (3rac(2) - rac(7))/2 sauf que la réponse est a priori 3rac(2) - rac(7) mais je n'arrive pas a comprendre mon erreur...

NB : C'est pas du tout le moyen le plus simple pour calculer le réel, je voulais juste tester cette formule

[Sa Majesté]

je ne vois pas ou est mon erreur de signe...

[Sa Majesté]

Donc j'ai fait Re = 1/2 * [((1 - i ) * (3rac(2) - i * rac(7)) + ((1 + i) * (3rac(2) + i * rac(7))]
Et je trouve donc (3rac(2) - rac(7))/2 sauf que la réponse est a priori 3rac(2) - rac(7) mais je n'arrive pas a comprendre mon erreur...

Tu as 2 fois 3rac(2), que tu divises par 2 donc ça fait 3rac(2)

[Carpate]

Déjà figure 2 fois dans le développement donc une seule fois quand tu divises par 2

[Mael62]

je ne vois pas ou est mon erreur de signe...

Aaaah oui ! Ca fait beaucoup d'erreur d'inattention ce soir, faut que je fasse une pause

[Mael62]

Donc j'ai fait Re = 1/2 * [((1 - i ) * (3rac(2) - i * rac(7)) + ((1 + i) * (3rac(2) + i * rac(7))]
Et je trouve donc (3rac(2) - rac(7))/2 sauf que la réponse est a priori 3rac(2) - rac(7) mais je n'arrive pas a comprendre mon erreur...

Tu as 2 fois 3rac(2), que tu divises par 2 donc ça fait 3rac(2)

Et encore une haha, je sais pas ce que j'ai fait mais je me retrouvais avec plus qu'un seul 3rac2 avant de diviser par deux...

Merci a vous deux !

[Mael62]

J'ai encore une question et comme c'est sur les complexes je profite de mon sujet pour ne pas encombrer le forum.

Je me trouve face a un exo :
1. Soit A le point d'affixe a. Quel est l'ensemble des points M(z) tel que module de (z - a) = R
2. Soit A le point d'affixe a. Quel est l'ensemble des points M(z) tel que module de (z - a) <= R

Je ne comprends vraiment pas ce qu'il faut faire, et le "R" je ne vois même pas ce que ca signifie mise a part peut être les réels ?

[Lostounet]

J'ai encore une question et comme c'est sur les complexes je profite de mon sujet pour ne pas encombrer le forum.

Je me trouve face a un exo :
1. Soit A le point d'affixe a. Quel est l'ensemble des points M(z) tel que module de (z - a) = R
2. Soit A le point d'affixe a. Quel est l'ensemble des points M(z) tel que module de (z - a) <= R

Je ne comprends vraiment pas ce qu'il faut faire, et le "R" je ne vois même pas ce que ca signifie mise a part peut être les réels ?

Salut,

R est un nombre réel positif !
Il s'appelle R comme....rayon ;p
Pour te donner un indice....

Qualitativement quand on écrit |z-a| c'est tout simplement la distance entre les complexes z et a !
Donc on cherche les complexes z tels que la distance entre z et a est toujours constante et égale à R...!

Maintenant si tu veux le voir par le calcul,
Pose z=x+iy
Et a=u+iv
Et exprime |z-a|=R et tu verras apparaitre l'équation d'un .....

[Mael62]

Bonsoir,

Merci pour ta réponse !
Néanmoins je n'arrive toujours pas a comprendre... A saisir ce qui est demandé, on cherche un valeur de a ? Un ensemble de position ?
J'ai essayé de remplacer comme indiqué mais je me retrouve simplement avec un x + iy - y - iv = R sans voir ou ca m'amène et ou il faut en venir

J'vais aller dormir je regarderai ca a tête reposé demain la nuit portera surement conseil haha

[Mael62]

Est ce que ca pourrait être z l'ensemble des valeurs de pi/2 à 0 sur le cercle trigonométrique avec a le centre du cercle ?

[Lostounet]

Bonsoir,

Merci pour ta réponse !
Néanmoins je n'arrive toujours pas a comprendre... A saisir ce qui est demandé, on cherche un valeur de a ? Un ensemble de position ?
J'ai essayé de remplacer comme indiqué mais je me retrouve simplement avec un x + iy - y - iv = R sans voir ou ca m'amène et ou il faut en venir

J'vais aller dormir je regarderai ca a tête reposé demain la nuit portera surement conseil haha

Imagine-toi qu'on fixe un certain complexe a (il ne bouge pas lui).
Et on cherche un ensemble de points z (on met un z qui bouge autour de a) tout en gardant la condition |z-a|=R (le point z peut bouger autour de a mais sa distance à ce point a doit toujours être égale à R).
On cherche à trouver qui sont ces z qui respectent cette condition.


Par contre ce que tu as écrit pour le calcul de |z-a| est erronné (une distance est forcément un nombre positif et ne peut pas contenir de 'i') et montre que tu n'as pas trop compris ce que veut dire le module.
Je te rappelle que |z-a| est la distance entre z et a. Si on note M le point d'affixe z =x + iy de coordonnées M(x;y) et A le point d'affixe a=u+iv de coordonnées doncA (u;v) alors pour calculer la distance entre un point M(x;y) et le point A(u;v) on sait que:

|z-a|= MA= racine( (x-u)^2 + (y-v)^2)

Et donc ...

[Mael62]

C'est déprimant je n'arrive vraiment pas a résoudre cet exercice...
Pour le module j'ai été stupide, mais même avec ta formule, en faisant |z-a| = R, en bidouillant 2-3 trucs et en faisant
(x-u)^2 + (y-v)^2 = R^2 puis en développant les identités remarquable je trouve :
x^2 + u^2 + y^2 + v^2 - 2xu - 2yv = R^2, ca m'a l'air fort stupide comme raisonnement

[Lostounet]

C'est déprimant je n'arrive vraiment pas a résoudre cet exercice...
Pour le module j'ai été stupide, mais même avec ta formule, en faisant |z-a| = R, en bidouillant 2-3 trucs et en faisant
(x-u)^2 + (y-v)^2 = R^2

Tu as fini !
Quel est l'ensemble des points (x;y) vérifiant:
(x-u)^2+(y-v)^2=R^2 ?

C'est l'équation d'un cercle de rayon R et de centre A(u;v) tout simplement !
z bouge avec une distance constante autour de a...c'est vraiment facile à comprendre qualitativement en plus ! Il n'y a aucun piège ni aucune difficulté...
Dès que l'on a bien compris ce qu'est |z-a| qui n'est autre qu'une distance !


Le point blanc est "a"
Le point rouge est "z"
Le segment est de longueur R.

Pour la question suivante c'est pareil mais avec <= R^2 qui est un dis..... de centre A.

[Mael62]

1. Soit A le point d'affixe a. Quel est l'ensemble des points M(z) tel que module de (z - a) = R
J'ai donc ca : (x-u)^2+(y-v)^2=R^2 avec z=x+iy et a=u+iv

J'ai bien compris les explications, que c'était l'équation d'un cercle (merci pour le schéma d'ailleurs !).
D'ailleurs dès la première explication quand tu m'as donné l'indice R comme rayon j'avais compris qu'on avait affaire a un cercle mais encore maintenant je ne vois pas quoi répondre... A moins qu'il faille simplement répondre que l'ensemble des points M(z) tel que le module de (z-a) = R soit l'ensemble des points qui vérifient l'équation ci-dessus (et dans ce cas je cherche beaucoup trop loin depuis le début...)