Famille libre

par **ludo60** » 12 Jan 2019, 15:31

Bonjour, on considère une famille

de vecteurs libres dans un e.v E.
On rajoute un vecteur à cette famille, noté

de sorte que la famille

soit liée.

Le but est alors de montrer que

.

J'ai réussi à montrer qu'au moins un des vecteurs s'exprime comme CL des autres mais ne comprends pas pourquoi ce vecteur est nécessairement

.

Merci pour votre aide.

par **Mimosa** » 12 Jan 2019, 15:54

Bonjour

Il existe des scalaires non tous nuls, tels que

.

Si

, la famille initiale étant libre, on a

, donc

et

, ce qui entraine

, donc

.

Si

, on multiplie par

et on a

combinaison linéaire des autres.

par **ludo60** » 12 Jan 2019, 16:33

Merci pour ta réponse. Je n'ai pas bien compris une partie:

Tu dis que si

, alors tous les

sont nuls. Ça, je vois bien.

Ne peut-on pas simplement dire alors que puisque les vecteurs sont liés, il existe nécessairement

puis conclure sur ta dernière phrase ?

par **Mimosa** » 14 Jan 2019, 15:05

C'est tout le problème que tu posais. Il y en a bien un non nul, mais pourquoi

?

par **ludo60** » 15 Jan 2019, 15:18

Car s'il est nul, ils le sont tous ?

par **Mimosa** » 15 Jan 2019, 15:46

Oui, c'est ça.

par **ludo60** » 15 Jan 2019, 15:49

ok, merci pour ton aide, j'y vois plus clair :-)

par **Mimosa** » 15 Jan 2019, 16:14

par **mathelot** » 15 Jan 2019, 16:19

pour résumer:

il existe une combinaison linéaire non triviale des

pour

ne peut pas être nul
donc

est combinaison linéaire des

pour

ainsi, on voit qu'une partie libre maximale (au sens de l'inclusion) est une famille génératrice.