Exercice Fonction 2 variables

[Noodles94]

Bonjour,

J'ai un petit exo à résoudre sur lequel je galère un peu :


1. Montrer que , l'équation admet une unique solution , et que
2. Montrer qu'il existe tel que, pour tout fixé dans , l'équation admet une solution

Pour la première question, à fixé, il suffit de résoudre une équation du second degré, ce n'est pas très compliqué.
En revanche, j'ai du mal sur la deuxième question. J'ai pensé à utiliser le théorème des fonctions implicites en . Or, . Je suis un peu bloqué ici. Il faudrait peut être utiliser une suite de solutions avec , mais je sèche. Help !

En vous remerciant d'avance

[aviateur]

Bonjour n'est pas nul donc tu peux appliquer le théorème des fonctions implicites pour dire que dans un voisinage de x=0 la fonction y(x) est de classe C^1.
En particulier il existe un intervalle I=[0, a] tel que x->y(x) est continue sur I.
Posons y(I)=[0,y*] , y* répond à la question.

[Noodles94]

Bonjour
Certes, mais je cherche une fonction de et non de . Il me semble qu'il faut utiliser pour appliquer le théorème non ?

[Ben314]

Salut,
Ca me semble plus que fortement faux ton truc : ta fonction , vu sa définition, elle est évidement sur , positive sur et nulle uniquement en 0.
Donc rien qu'en utilisant le T.V.I. (donc uniquement la continuité), tu en déduit que tout les suffisamment proche de 0 ont (au moins) deux antécédent par cette fonction .

Ou ton " admet UNE solution " est à comprendre sous la forme "admet AU MOINS une solution", mais dans ce cas, c'est une évidence évidente : le seul truc qui serait intéressant dans ce contexte, ça serait de montrer que non seulement il y a "au moins une" solution x(y), mais aussi qu'on peut en paramétrer une (solution) de façon régulière (par exemple continuement voire même de façon )

Enfin, bref, tel quel, l'énoncé est on ne peut plus défaillant.

[Noodles94]

Hello,

Je n'ai pas compris ce que tu trouves de faux dans l'énoncé. Ce n'est pas parce pour tout x on peut exhiber une solution y(x) qu'il existe une solution évidente pour tout y ...
Je peux te mettre l'énoncé originale si tu le souhaites, mais les questions sont formulées sensiblement de la même façon. Et il est hautement improbable que l'énoncé soit faux étant donné la source.

[Ben314]

Bonjour n'est pas nul donc tu peux appliquer le théorème des fonctions implicites pour dire que dans un voisinage de x=0 la fonction y(x) est de classe C^1.

Ca, je voudrais pas dire, mais c'est vraiment un bulldozer pour (mal) écraser une mouche : la fonction s'écrit où sont les fonction de données par l'énoncé avec et pour tout (car et n'est nul que pour et on a ).
Et comme les fonction de l'énoncé sont sur , c'est que la fonction l'est aussi.

Quand à , (qui existe bien évidement), ben vu que et que, par définition, pour tout , c'est forcément que et qu'il n'y a forcément pas d'inverse local de la fonction au voisinage de 0.

[Ben314]

Je peux te mettre l'énoncé originale si tu le souhaites, mais les questions sont formulées sensiblement de la même façon. Et il est hautement improbable que l'énoncé soit faux étant donné la source.

Au lieu de faire des conjecture à la "mord moi le nœud" concernant la confiance que tu as dans l'énoncé "vu d'où il provient", ben ça me semblerait "à peine" plus malin de prendre les 2 minutes nécessaires pour représenter graphiquement (avec géogébra par exemple) les solutions de l'équation g(x,y)=0 sur un dessin histoire de voir de tes propres yeux de quoi il retourne, non ?

Une fois que tu aura le dessin sous les yeux, ben... on reparlera de la cohérence de l'énoncé.

[Noodles94]

Je ne vois pas l'intérêt d'une réponse aussi virulente ... d'autant plus qu'il ne s'agit en fait pas d'une réponse. Si tu n'es pas en mesure de répondre il n'y a pas de soucis, je te remercie d'avoir essayé.
Par ailleurs j'ai seulement supposé qu'une façon de répondre était d'utiliser l'inversion locale.

[Noodles94]

Bonjour n'est pas nul donc tu peux appliquer le théorème des fonctions implicites pour dire que dans un voisinage de x=0 la fonction y(x) est de classe C^1.
En particulier il existe un intervalle I=[0, a] tel que x->y(x) est continue sur I.
Posons y(I)=[0,y*] , y* répond à la question.

Merci !

[Ben314]

Je ne vois pas l'intérêt d'une réponse aussi virulente ... d'autant plus qu'il ne s'agit en fait pas d'une réponse. Si tu n'es pas en mesure de répondre il n'y a pas de soucis . . .

J'ai répondu on ne peut plus clairement à la question posée : il y a clairement une erreur d'énoncé.
Après, si tu vient chercher de l'aide et que, lorsqu'on t'en donne, tu n'en tient pas compte, effectivement, je ne vois pas d’intérêt à perdre plus de temps.

[Noodles94]

L'énoncé provient d'une annale d'épreuve d'entrée pour un Master à Oxford, que je vais passer prochainement. Il n'y a pas d'erreur.

[mathelot]

bonsoir,
pourquoi ne pas calculer la meilleure approximation affine de x(y) voire un DL.

[Lostounet]

Je ne vois pas l'intérêt d'une réponse aussi virulente ... d'autant plus qu'il ne s'agit en fait pas d'une réponse. Si tu n'es pas en mesure de répondre il n'y a pas de soucis, je te remercie d'avoir essayé.
Par ailleurs j'ai seulement supposé qu'une façon de répondre était d'utiliser l'inversion locale.

Je te conseillerais de bien relire les réponses de Ben jusqu'à les comprendre.

S'il te dit qu'il y a une erreur d'énoncé, c'est qu'il a une raison bien précise de le penser. Si tu n'es pas d'accord avec lui tu devrais pouvoir lui dire en quoi il se trompe... "non il n'y a pas d'erreur" ne témoigne pas d'une grande ouverture scientifique...

Si l'énoncé provient de Oxford, effectivement il est peu probable qu'il y ait erreur mais dans ce cas ce serait ta traduction de l'énoncé en anglais qui est probablement imprécise et ça, ça devrait te mener à plus d'humilité à l'égard des intervenants.

[aviateur]

Bonjour
Je découvre ces messages seulement maintenant.
Bon perso je ne vois pas une erreur d'énoncé mais seulement une maladresse.
Ensuite le contexte dans lequel j'ai répondu c'est pas idiot du tout.
On a un exercice dont la donnée est tout de même de la forme g(x,y)=0 et le contexte c'est aussi de répondre à quelqu'un qui souhaite appliquer le théorème des fonctions implicites, pourquoi pas, d'autant plus qu'il ne faut pas oublier non plus le caractère quasi local de la seconde question.
D'ailleurs @ben, crois-tu que je n'ai pas vu qu'on peut exploiter le fait que g(x,y)=0 est une équation du second degré par rapport à la variable y et que dans ton premier message tu avais justifié un peu trop vite que y(x) est de classe en oubliant de regarder que reste bien strictement positif?

Bon en (0,0), @Nodles souhaite appliquer le th des fonctions implicites pour exhiber une fonction x(y) localement en 0. Mais il est bloqué parce que Alors pour rester dans le cadre dans lequel il s'est fixé, c'est pas du tout con de constater que et qu'on peut répondre à la question 2, telle qu'elle est posée, en restant dans le cadre abstrait de l'exo, c'est à dire en ne tenant pas compte du caractère particulier de g(x,y).

[Ben314]

a) Dans mon premier message, je n'ai rien justifié du tout : j'ai uniquement dit que c'était évident. Il me semblait quand même qu'au niveau "supérieur", c'est pas la peine de passer 3 plombes à expliquer qu'un truc du style (-b+\sqrt(b²-4ac))/(2a) va être C^oo lorsque a ne s'annule pas et que le discriminant reste >0.

b) Honnêtement, lorsque tu trouve dans une copie un type que te sort du "théorème des fonctions implicites" (i.e. qui "reste dans le cadre abstrait" comme tu dit) pour montrer qu'une bête fonction de R->R+ définie on ne peut plus explicitement (et clairement C^oo) et telle que f(0)=0 va être telle que l'ensemble des valeurs prise par la fonction contient un certain intervalle [0,y*], tu te fait quelle opinion du type en question ?

Sans parler du fait que, si on comprend l'énoncé sous la forme "l'équation f(x,y)=0 doit admettre AU MOINS une solution" alors il va y avoir évidement des tonnes et des tonnes de solutions dont des tas absolument pas continues ce qui fait que de chercher les solutions avec un outil style fonction implicites qui est un outil pour justifier de la régularité d'une certaine fonction, ben c'est complètement absurde dans ce contexte là.

[pascal16]

question 1)
je pensais l'énoncé faux, mais je viens de le comprendre
à x fixé, g(x,y) = 0 admet une unique solution positive qu'on appellera y(x).
NB : y passe du statu de variable muette à nom de fonction.

g(0,y)=0 admet 0 et exp(-1)-1 comme solution, justifier la limite en 0, c'est déjà commencer la démo de continuité proposée par Ben.

soit Y* la BS atteinte ou pas par y(x)
si elle est atteinte y*=Y*, sinon, y* = n'importe quel nombre dans ]0;Y*[
Là où c'est bizarre, c'est qu'on ne demande pas le plus grand y* possible, car continuité+ 1 valeur valide de y suffit.

[aviateur]

Rebonjour
@ben. Tout est une histoire d'interprétation. Visiblement on n'a pas le point de vue ici mais c'est pas grave. Sinon je suis complètement d'accord qu'il fallait au minimum faire remarquer qu'on a une expression explicite de y(x) à la première question à exploiter directo.

[pascal16]

sauf erreur de ma part y(x) a cette tête :

[Ben314]

C'est bien la bonne courbe.
Et si sur le même dessin tu trace aussi l'autre solution de l'équation du 2nd degré en y, ben tu as sous les yeux l'ensemble de toutes les solutions de l'équation g(x,y)=0 et tu peut lire ce que tu veut comme information, en particulier que, pour tout assez petit fixé, l'équation a non seulement 2 solutions avec proche de 0 (ce qui était évident sans rien tracer), mais qu'elle en a même 2 autres avec x proche de .
Bref, pour "inverser la fonction" sans précision de où on cherche les , c'est très mal barré (et en plus, le seul outil nécessaire, ben c'est le "théorème de la bijection" du Lycée)

En plus, j'ai beau me gratter pas mal le crâne, dans un tel contexte, je vois pas bien quelle question "intelligente" on pourrait poser de façon à ce que la réponse soit plus facile à trouver en revenant à la fonction de deux variables g plutôt qu'en utilisant la forme explicite y=y(x).
Quelqu'un à une idée ?

[aviateur]

Rebonjour
Un petit truc marrant (du moins je crois) lié à ce post.
On considère une équation de la forme avec a et b de classe sur De plus on suppose que l'équation admet une solution et une solution .

1. Montrer que n'est pas nécessairement de classe sur

2. Peut-on définir une fonction x--->y(x) (où y(x) est l'une des solutions de l'équation) et qui soit de classe sur