[MPSI] Problème équa diff 2nd ordre

[Majaspique]

Bonjour,
je bloque sur quelques points du problème suivant :

Les questions où je bloque son en rouge

Sujet :
On considère l'équation différentielle suivante :
(E)
Son équation homogène associée est :
(H)

Q1) On se place sur
on pose et si y: x -> y(x) est une fonction 2 fois dérivable sur I alors on pose

a) Montrer que : y est solution de (E) <=> (E')

EDIT : c'est bon

On peut écrire (E) sur I sous la forme :

c'est-à-dire, puisque :

et comme alors :
(E')
Mais voilà, je n'obtiens pas le résultat escompté. J'ai bien essayé la forme normalisée mais ça n'arrange rien

b) Résoudre soigneusement l'équation (E') et donner les solutions réelles pour g.

EDIT : c'est bon

L'équation homogène associée à (E') est :
(H')

L'équation caractéristique de (H') est :
(h')
Son discriminant vaut . Il est négatif et admet donc deux racines complexes conjuguées d'où

Donc

On pose :



Si est solution de et de alors est solution de (E')

On cherche sous la forme :

On injecte dans :


Donc

On cherche sous la forme :



On injecte dans :




Donc

Donc

Finalement,

c) En déduire l'ensemble des solutions réelles pour y sur I

EDIT : c'est bon



Q2) Dans cette question, on se place sur l'intervalle . On pose et Z = z'

a) Montrer que y est solution de (E) sur J <=> (E'')

Voilà comment j'ai procédé mais je ne parviens pas à aboutir :

Je suppose que si Z = z' alors Z' = z'' (je ne vois pas d'autre chose)

On remplace donc dans (E'') :


Ensuite puisque :

Alors :



Donc je remplace et j'obtiens :



Probablement une erreur de calcul quelque part mais je n'arrive pas à la trouver..

b) Résoudre soigneusement l'équation (E'') et donner les solutions réelles pour Z sur J.

On met (E'') sous forme normalisée :


Son équation homogène associée est alors :


(le - car x < 0)

On cherche une solution particulière de (E'') par la méthode de variation de la constante sous la forme :

On injecte dans (E'') :



Je ne suis pas sûr de si c'est la bonne méthode mais je galère un peu pour la primitive

Merci d'avance pour votre aide.

[LB2]

Bonjour,

attention à la dérivée d'une composée :

tu pars de la relation g(t)=y(exp(t)) valable pour tout t dans R, et tu dérives deux fois cette relation pour obtenir g'(t), g''(t) en fonction de y,y' et y''.

Tu devrais alors obtenir l'ED à coefficients constants pour g : g''+4g'+9g=...

Ton erreur est de considérer que g'(t)=y'(e^t) et g''(t)=y''(e^t), ce qui n'est absolument pas le cas (il faut dériver une composée).

Cordialement

[Majaspique]

Bonjour,

attention à la dérivée d'une composée :

tu pars de la relation g(t)=y(exp(t)) valable pour tout t dans R, et tu dérives deux fois cette relation pour obtenir g'(t), g''(t) en fonction de y,y' et y''.

Tu devrais alors obtenir l'ED à coefficients constants pour g : g''+4g'+9g=...

Ton erreur est de considérer que g'(t)=y'(e^t) et g''(t)=y''(e^t), ce qui n'est absolument pas le cas (il faut dériver une composée).

Cordialement

J'ai donc :

[LB2]

Non, tu t'es trompé dans l'expression de g'(t) : il faut dériver (vou) avec v=y et u=exp
Je te rappelle que (vou)'=u'*v'ou

[Majaspique]

Non, tu t'es trompé dans l'expression de g'(t) : il faut dériver (vou) avec v=y et u=exp
Je te rappelle que (vou)'=u'*v'ou

Ah oui pardon, ça donne : donc :

[LB2]

Presque! mais tu as oublié le ' dans l'expression de g' : c'est bien g'(t)=e^t*y'(e^t).
Donc g''(t)=...

Et après tu obtiens l'ED à coefficients constants (c'est l'intérêt) vérifiée par g.

[LB2]

Alternativement, une méthode non explorée par l'exercice est de directement chercher les solutions de l'ED linéaire d'ordre 2 à coefficients non constants vérifiée par y, à l'aide de la méthode de la variation de la constante, mais celle ci n'est pas au programme pour les ED linéaires d'ordre 2...

[Majaspique]

Il y'a une autre méthode proposée question 3 mais je n'y suis pas encore
Voilà ce que j'ai pour la question 1.b), est-ce correct ?

b) Résoudre soigneusement l'équation (E') et donner les solutions réelles pour g.

L'équation homogène associée à (E') est :
(H')

L'équation caractéristique de (H') est :
(h')
Son discriminant vaut . Il est négatif et admet donc deux racines complexes conjuguées d'où

Donc

On pose :



Si est solution de et de alors est solution de (E')

On cherche sous la forme :

On injecte dans :


Donc

On cherche sous la forme :



On injecte dans :




Donc

Donc

Finalement,

Et donc la question c) :
c) En déduire l'ensemble des solutions réelles pour y sur I :

[LB2]

C'est presque bien modulo quelques erreurs de calcul :

- c'est cos(+sqrt(5)) et pas cos(-sqrt(5)) qui n'a pas de sens.
- le principe de superposition des solutions est correct
- ton calcul de b0 est incorrect : je ne comprends pas d'ou vient le signe -. Tu devrais obtenir (4b0+4*2b0+9b0)=1 d'où b0=1/21

c) Tu as les solutions de (E') sur R, tu en déduis les solutions de E sur I grâce à la relation y(x)=g(ln(x))
qui est correct modulo les modifications précédentes

[Majaspique]

Merci, j'ai pu finir la Q1.
Voici la question 2 à laquelle je rencontre également quelques problèmes :

Q2) Dans cette question, on se place sur l'intervalle . On pose et Z = z'

a) Montrer que y est solution de (E) sur J <=> (E'')

Voilà comment j'ai procédé mais je ne parviens pas à aboutir :

Je suppose que si Z = z' alors Z' = z'' (je ne vois pas d'autre chose)

On remplace donc dans (E'') :


Ensuite puisque :

Alors :



Donc je remplace et j'obtiens :



Probablement une erreur de calcul quelque part mais je n'arrive pas à la trouver..

b) Résoudre soigneusement l'équation (E'') et donner les solutions réelles pour Z sur J.

On met (E'') sous forme normalisée :


Son équation homogène associée est alors :


(le - car x < 0)

On cherche une solution particulière de (E'') par la méthode de variation de la constante sous la forme :

On injecte dans (E'') :



Je ne suis pas sûr de si c'est la bonne méthode mais je galère un peu pour la primitive

[Ben314]

Salut,

Alors :

avec un - et pas un plus.
Et c'est nettement plus simple à dériver en écrivant sous forme de produit et pas de quotient, c'est à dire sous la forme

De même, pour résoudre , c'est bien lus pratique de l'écrire