Bonjour,
je bloque sur quelques points du problème suivant :
Les questions où je bloque son en rouge
Sujet :
On considère l'équation différentielle suivante :
(E)
Son équation homogène associée est :
(H)
Q1) On se place sur
on pose et si y: x -> y(x) est une fonction 2 fois dérivable sur I alors on pose
a) Montrer que : y est solution de (E) <=> (E')
EDIT : c'est bon
On peut écrire (E) sur I sous la forme :
c'est-à-dire, puisque :
et comme alors :
(E')
Mais voilà, je n'obtiens pas le résultat escompté. J'ai bien essayé la forme normalisée mais ça n'arrange rien
b) Résoudre soigneusement l'équation (E') et donner les solutions réelles pour g.
EDIT : c'est bon
L'équation homogène associée à (E') est :
(H')
L'équation caractéristique de (H') est :
(h')
Son discriminant vaut . Il est négatif et admet donc deux racines complexes conjuguées d'où
Donc
On pose :
Si est solution de et de alors est solution de (E')
On cherche sous la forme :
On injecte dans :
Donc
On cherche sous la forme :
On injecte dans :
Donc
Donc
Finalement,
c) En déduire l'ensemble des solutions réelles pour y sur I
EDIT : c'est bon
Q2) Dans cette question, on se place sur l'intervalle . On pose et Z = z'
a) Montrer que y est solution de (E) sur J <=> (E'')
Voilà comment j'ai procédé mais je ne parviens pas à aboutir :
Je suppose que si Z = z' alors Z' = z'' (je ne vois pas d'autre chose)
On remplace donc dans (E'') :
Ensuite puisque :
Alors :
Donc je remplace et j'obtiens :
Probablement une erreur de calcul quelque part mais je n'arrive pas à la trouver..
b) Résoudre soigneusement l'équation (E'') et donner les solutions réelles pour Z sur J.
On met (E'') sous forme normalisée :
Son équation homogène associée est alors :
(le - car x < 0)
On cherche une solution particulière de (E'') par la méthode de variation de la constante sous la forme :
On injecte dans (E'') :
Je ne suis pas sûr de si c'est la bonne méthode mais je galère un peu pour la primitive
Merci d'avance pour votre aide.