DM GEOMETRIE

[octavia24]

Bonjours, j'ai un DM et une des questions est

OABC est un tétraèdre tel que OAB; OAC et OBC sont des triangles rectangles isocèles en O.
On a OA=4cm
On prend un point M sur [OA]
On trace la parallèle à (AB) passant par M. elle coupe [OB] en N;
On construit les points P et Q respectivement sur les segments [BC] et [AC] pour que le quadrilatère MNPQ soit un rectangle
Question:Où placer le point M pour que l'aire du rectangle MNPQ soit maximal

Pourriez vus m'aiderz s'il vous plait merci

[Ben314]

Salut,
Pour "déterminer où placer M", il faut assez clairement introduire une variable numérique pour situer M sur le segment. J'aurais tendance à poser x=OM avec x entre 0 et 4 (l'autre option naturelle étant de poser x=AM, mais ça ne change pas grand chose).
Reste à déterminer les dimension du rectangle en fonction de x (pour calculer l'aire).
- En ce qui concerne MN, c'est assez simple : il suffit de représenter le triangle OAB avec les points M et N et d'utiliser la relation de Thalès pour trouver la valeur de MN en fonction de x=OM.
- Pour MQ, c'est moins évident vu qu'il faut commencer par situer où est Q. Mais si on représente le triangle ABC (équilatéral de coté . . . ) avec les points P et Q, la droite (PQ) doit être parallèle à (AB) [vu qu'elle est parallèle à (MN) elle même parallèle à (AB)] et la longueur de PQ en fonction de x est connue [égale à la longueur MN trouvée précédemment] donc en utilisant de nouveau la relation de Thalès, on peut calculer (en fonction de x) la longueur CQ puis en déduire celle de AQ. Ensuite, maintenant qu'on connaît AQ et AM[=OA-OM], en représentant le triangle OAC et en utilisant de nouveau la relation de Thalès, on peut en calculer (en fonction de x) la longueur MQ.
Et il n'y a plus qu'à écrire le produit de MN par MQ pour avoir l'aire du rectangle en fonction de x (qui va être un polynôme du second degré en x) puis à chercher quel est le maximum de ce polynôme pour x entre 0 et 4.

[rcompany]

On construit les points P et Q respectivement sur les segments [BC] et [AC] pour que le quadrilatère MNPQ soit un rectangle

Es-tu sûre que P et Q ne sont pas plutôt respectivement sur [BD] et [AC]?

[rcompany]

Tu peux noter que:

- tu as des triangles isocèles, donc les 2 angles opposés à O dans chaque triangle sont égaux. Par exemple OAB=OBA. Et n'oublie pas que la somme des angles dans un triangle est égale à Pi
- Thalès et l’hypothèse sur les longueurs des côtés des triangles te permettent de dire que OM=ON. D'où un autre triangle isocèle OMN
- l'aire du rectangle est égale à MNxMQ

Essaie de calculer MN et MQ en fonction de OM, de l'angle MON et de l'angle OAC en utilisant la trigonométrie.