[TS] Géométrie : (ABC) définissent un plan?

[Asgarel]

Il y a 3 points de l'espace A, B et C

Question simple : démontrer que A, B et C définissent un plan


Je sais qu'il faut montrer qu'ils ne sont pas colinéaires en prouvant qu'il n'existe pas de réel k tel que AB=kAC


Ma question :

Avec le produit scalaire, est ce qu'on peut montrer que AB.BC par exemple, est différent de pi ou d'un chiffre/nombre qui représente l'angle de 180°


Ainsi les vecteurs AB et BC formeraient un angle positif ceux qui prouveraient qu'ils ne sont pas alignés.
Donc (ABC) définissent bien un plan...



En espérant trouver une réponse à cette question détail merci.

[bombastus]

Bonjour,

Avec le produit scalaire, est ce qu'on peut montrer que AB.BC par exemple, est différent de pi ou d'un chiffre/nombre qui représente l'angle de 180°

Selon quelle propriété pourrais-tu dire que si le produit scalaire est égal à pi alors les trois points sont alignés??!?
Le produit scalaire ne donne pas la valeur de l'angle...

Le produit scalaire est défini par :
AB.AC = xAxB+yAyB
ou
AB.AC = ;)AB;);) ;)AC;);) cos(AB,AC)

Donc si AB et AC sont colinéaires, le produit scalaire peut être égal à ... ou ...

[reday]

Bonsoir

Pour demontrer que les points A,B,C ne sont pas colinéaires , il suffit de prouver cela:

soit (x,y) les coordonnées du vecteur AB et (a,b) les coordonnées du vecteur BC.
On a AB.BC(vecteurs)=racine [(x^2+y^2)*(a^2+b^2)]COS(AB,BC)

si A,B,C sont colinéaires on a COS(AB,BC)=1 ou -1
donc ce que tu doit demontrer c'est que la valeur absolue de AB.BC n'est pas égale à : racine [(x^2+y^2)*(a^2+b^2)]COS(AB,BC)

[Asgarel]

Bonjour,


Selon quelle propriété pourrais-tu dire que si le produit scalaire est égal à pi alors les trois points sont alignés??!?
Le produit scalaire ne donne pas la valeur de l'angle...

En faite je partais du principe que quand le produit scalaire vaut 0, les vecteurs sont orthogonaux donc je me demandais s'il existait un nombre par exemple pi ou un autre, pour lequel les vecteurs seraient colinéaires/alignés ... ainsi si j'arrivais à démontrer que le produit scalaire AB.BC était différent de ce nombre, je montrerais que les points ne sont pas alignés


mais j'avais oublié la formule : AB.AC = ;)AB;);) ;)AC;);) cos(AB,AC)

si A,B,C sont colinéaires on a COS(AB,BC)=1 ou -1
donc ce que tu doit demontrer c'est que la valeur absolue de AB.BC n'est pas égale à : racine [(x^2+y^2)*(a^2+b^2)]COS(AB,BC)

qu'entends tu par " valeur absolue de AB.BC " s'il te plais ? la valeur absolue du produit scalaire AB.BC doit être différent de racine [(x^2+y^2)*(a^2+b^2)]COS(AB,BC) ? et pourquoi est ce qu'on calcule racine [(x^2+y^2)*(a^2+b^2)] ? c'est les coordonnées de la multiplication AB.BC ?

j'avoue que je suis plus beaucoup la ^^

en même temps un peux fatigué là désolé j'aurai ptête dû poster demain matin à tête reposé :marteau:

[reday]

D'aprés les donées que j'ai posé;la longueur AB est égale à racine(x^2+y^2)
et la longueur BC est égale à racine(a^2+b^2).
donc si les points A,B,C étaient colinéaires on aura:
La valeur absolue du produit scalaire AB.BC égale à
racine(x^2+y^2)*racine(a^2+b^2)=racine[(x^2+y^2)(a^2+b^2)]
(car COS(AB,BC)=1ou -1)

donc il faut démontrer que La valeur absolue du produit scalaire AB.BC n'égale pas à: racine[(x^2+y^2)(a^2+b^2)]

[Benjamin]

Bonjour,
Déjà, on ne dit pas de points qu'ils sont colinéaires mais alignés.

Une façon de faire plus simple quand on a compris. Elle part d'ailleurs de ce que tu as dit dès le début :

Je sais qu'il faut montrer qu'ils ne sont pas colinéaires en prouvant qu'il n'existe pas de réel k tel que AB=kAC

Juste une précision, c'est "il n'existe pas de réel k DIFFERENT DE 0. Partons donc de là, comme tu le suggères.

EDIT : Dans le plan, cela donne :
Il faut déjà nécessairement que les 3 points ne soient pas confondus. Ainsi, et . L'une des 2 coordonnées des vecteurs est donc non nul. Supposons que ce soit et . (avec les autres coordonnées, le raisonnement est analogue et on tombe sur le même résultat).

A, B, C aligné colinéaire à

il existe k non nul tel que



car et le retour se fait car



EDIT : ceci est pour le cas 2D. En fait, je me rends compte maintenant qu'on cherche des points alignés dans l'espace, ce qui est beaucoup plus compliqué. Tu aboutirais à la condition suivante :

A, B, C aligné .

Il faudrait donc calculer ces 3 produits, mais oublie, c'est bien trop compliqué. D'autant plus que pour utiliser ceci, il faudrait d'abord le montrer. C'est simple en 2D, mais en 3D, c'est différent.

Bref, il n'empêche pas de partir de ton point de départ. C'est ce qu'il faut faire. Passer par le cosinus d'un angle en 3D est carrément déconseillé aussi. C'est juste une question de logique.
Est-ce qu'il existe k non nul tel que
C'est tout ce qu'il faut te dire.
Tu calcules k pour chaque coordonnée. Si tu trouves 3k identiques, alors il existe bien k non nul tel que.... (c'est celui que tu viens de trouver), sinon, il n'existe clairement pas de k vérfiant cette condition (sinon, tu n'aurais pas des k différents)

[Asgarel]

Calculer la différence du produit scalaire que tu propose, montrer qu'il donc qu'il vaut 0 et en déduire que les vecteurs sont colinéaires et donc que les points sont alignés ? :happy2:

oki en tout cas merci pour ces réponses rapides et efficaces, j'avoue que je suis venu car j'ai le bac de math jeudi mais en tout cas ce forum est bien sympathique et j'espère contribuer à son enrichissement même après le bac :we:

[Benjamin]

Calculer la différence du produit scalaire que tu propose, montrer qu'il donc qu'il vaut 0 et en déduire que les vecteurs sont colinéaires et donc que les points sont alignés ? :happy2:

Désolé mais je viens de réaliser qu'on est dans l'espace. J'ai fait la démonstration dans le cas 2D. Je vais éditer mon post, désolé pour cette erreur. C'est juste, mais c'est du 2D.