Arithmétique Polynome

[Kediath]

Bonjour à toutes et à tous je ne cerne vraiment pas comment gérer les polynômes quand j'ai une question de type :
A(x)cos(x) + B(x)sin(x) =0

Montrez que A et B sont le polynômes nul.

Je ne sais pas si il faut raisonner en terme de degré ou si il faut raisonner en posant les polynômes tel que A(x)=a0 +a1 x +...+ an x^n

Je ne sais pas si je suis très clair je suis désolé

Cordialement

[Lostounet]

Salut,
Je pense qu'il y a plusieurs méthodes partant du fait que A et B sont deux polynômes.

Alors en évaluant en x = k*pi pour tout k, tu as:
A(k*pi) * cos(k*pi) + B(k*pi)*sin(k*pi) = 0

Donc:
A(k*pi)*cos(k*pi) + B(k*pi) *0 = 0

Donc A(k*pi) = 0 car cos(k*pi) vaut 1 ou -1 toujours.
Cela veut dire que A est un polynôme qui possède une infinité de racines de la forme x = k*pi.

[Kediath]

Merci de votre réponse, pourquoi doit on évaluer en k*pi en particulier ? Cela doit être vrai pour tout x

[Lostounet]

Vu que A(x)cos(x)+B(x)sin(x)=0 est vraie pour tout x, j'ai le droit d'évaluer cette égalité en des x particuliers.

Et pourquoi je choisis x=k*pi bah... pour aboutir à la conclusion que A possède une infinité de racines. Le seul polynôme possédant une infinité de racines est le polynôme identiquement nul ! Donc A est le polynôme nul.

[Kediath]

Et ducoup B(x) lui n'est pas forcément le polynôme nul? Et si on évalue en x = k*pi/2 C'est A(x) qui n'est pas forcément le polynôme nul je me trompe ? :s

[Lostounet]

Et ducoup B(x) lui n'est pas forcément le polynôme nul? Et si on évalue en x = k*pi/2 C'est A(x) qui n'est pas forcément le polynôme nul je me trompe ? :s

Regarde bien: si tu choisis x=k*pi/2 qui va s'annuler dans l'égalité?

Réécris l'égalité en x=k*pi/2.

Et puis A on a déjà montré que c'est le polynôme nul... il ne vas pas devenir un polynôme nul pour certains x et pas pour d'autres.
Il ne faut pas confondre polynôme qui s'annule avec polynôme identiquement nul.

Là on a montré que A(x)=0 pour tout x. Et pas juste pour x=k*pi ! Mais on a utilisé un argument pour passer de l'une à l'autre.

Si A(k*pi)=0 pour tout k alors A possède une infinité de racines alors A(x)=0 pour tout x. C'est le théorème de d'Alembert Gauss.

[Kediath]

Ça sera A(kpi/2)*0 + B(kpi/2)*sin(kpi/2) je vois bien que
B sera le polynôme nul mais je ne comprend pas comment
On peut en déduire que A l'est aussi

[Lostounet]

On s'en fout de A(k*pi/2) vu qu 'il est multiplié par 0...
C'est tout le but de regarder x=k*pi/2... pour "faire disparaitre" un des deux polynômes

[Kediath]

D'accord mais la question c'est "Montrez que A et B sont les polynômes nuls" (Je suis désolé je sais que c'est énervant d'expliquer quelque chose qu'on trouve simple à quelqu'un qui y arrive pas haha)

[Lostounet]

D'accord mais la question c'est "Montrez que A et B sont les polynômes nuls" (Je suis désolé je sais que c'est énervant d'expliquer quelque chose qu'on trouve simple à quelqu'un qui y arrive pas haha)

Oui mais.. c'est ce qu'on a fait !
Bon reprenons tout.

Soit A et B deux polynômes qui vérifient le fait que, pour tout x réel:
A(x)cos(x) + B(x)sin(x) =0

Montrons que les polynômes A et B sont identiquement nuls, c'est à dire montrons que pour tout x, A(x) = 0 et B(x) = 0.

Avant de faire cela, rappelons qu'un polynôme P non constant de degré n possède tout au plus n racines. Et que si P possède une infinité de racines, forcément il est constant et identiquement nul.

Montrons tout d'abord que A est identiquement nul:
Comme on a pour tout réel x:
A(x)cos(x) + B(x)sin(x) =0

En particulier, cela est vrai aux réels x = pi*k avec k appartenant à Z.
A(pi*k) cos(k*pi) + B(k*pi) sin(k*pi) = 0
Implique donc:
A(pi*k)*cos(k*pi) = 0 et cela valant pour tout entier k.

Cela implique que A(pi*k) = 0 pour tout k.
Le polynome A possède donc comme racines: 0, pi, 2pi, 3pi, 4pi .... -pi.... une infinité de racines !
Donc en utilisant le "rappel" (le théorème) A est identiquement nul et A(x) = 0 et cela vaut pour tout x réel (et pas seulement en x = pi*k).

Montrons maintenant que B est identiquement nul:

A(x)cos(x) + B(x)sin(x) =0

En particulier, cela est vrai aux réels x = pi/2 *k avec k appartenant à Z.
...
Donc B ....

[Kediath]

Merci beaucoup je viens de tout comprendre il fallait juste prouver que A et B sont identiquement nul en se servant de l'égalité je n'ai pas l'habitude des exercices avec les polynômes ça va venir je l'espère haha merci de votre temps !