Problème de maths...

[Taz01]

Bonsoir,

J'ai un problème à résoudre et je n'ai aucune idée de comment y parvenir. Le voici :

Soit a,b,c, trois coefficients connus
Soit x,y,z trois variables (on peut donner des valeurs aléatoires à seulement 2 des 3 variables)
Trouvez x,y,z tels que :
ax > x+y+z
by > x+y+z
cz > x+y+z

J'ai essayé avec des systèmes mais rien ne passe. Si jamais une âme de génie passe par là pour me donner des formules solutions du système

Cordialement,

Taz

[Ben314]

Salut,
Ca n'a pas franchement de sens de "trouver x,y,z" dans un tel contexte.
Tes trois inéquation peuvent s'écrire
(1-a)x + y + z < 0
x + (1-b)y + z < 0
x + y + (1-c)z < 0
Et chacune d'elle représente un "demi espace" (ouvert) passant par l'origine : une équation du type ?x+?y+?z=0, c'est celle d'un plan de l'espace passant par (0,0,0) et l'inéquation ?x+?y+?z<0, correspond à "un des deux cotés" du plan : c'est ce qu'on appelle un "demi espace" exactement comme lorsqu'on a une droite dans le plan et où "un des deux cotés" de la droite, ça s'apelle "un demi plan".
Donc ton truc, ben c'est l’intersection de 3 demi plans et à part ça, je vois pas vraiment ce qu'il y a à dire.

Peut-être que tu comprendrait mieux avec deux variables x et y et les deux inéquations x>0 et y>0 : qu'est ce que ça peut bien vouloir dire de "trouver x et y" dans ce contexte ?
Les solution, c'est l'ensemble des points du "quart Nord-Est" du plan, et y'a pas grand chose à dire de plus...

[Taz01]

Hmm je vois...

D'abord merci pour ta réponse mais le problème posé est pas plus explicite. Pas de contexte ni rien
La solution est un ensemble ? Comment je peux trouver l'ensemble des points de l'intersection de ces 3 plans ? Et quelles seraient les équations des plans du coup ?

[Ben314]

Les équations des 3 plans, ben c'est évidement ça :
(1-a)x + y + z = 0
x + (1-b)y + z = 0
x + y + (1-c)z = 0
Et de "trouver l'ensemble", je vois pas ce que ça peut vouloir dire vu le contexte.
On va faire dans le "concret" : Si on te demande de "trouver l'ensemble" des points (sur une carte) situés à l'Est de la droite Paris-Marseille, au Sud de la droite Paris-Amsterdam, tu répond quoi à la question ? Perso., à part de tracer les droites sur la carte et de hachurer la zone en question, je vois pas ce qu'on peut répondre...
Et là, ben c'est la même chose sauf qu'on est en dimension 3 : on a 3 plans et tout ce qu'on sait concernant les points (x,y,z) solution des 3 inéquations, c'est de quels cotés ils sont de chacun des 3 plans (qui passent tous par un même point)

[Taz01]

Est ce qu'on peut affirmer la chose suivante :
Les 3 plans forment une forme géométrique possédant un volume. Serait il possible de trouver un point appartenant à ce volume ?

[Ben314]

Le "volume" il contient des tonnes de points et on peut même trouver une "machine à générer" de tels points, au moins dans le cas où le système est inversible, c'est à dire si est non nul :
Tu choisi totalement au pif trois réels strictement négatif puis tu prend



Et si tout ce qui t’intéresse, c'est d'avoir un point dans le domaine, ben tu prend par exemple u=v=w=-1.

Par contre, si le déterminant est nul, tes trois plans passent par une même droite et soit une des 3 inéquations se déduit des 2 autres donc ne sert à rien soit au contraire une des inéquation est contradictoire avec les 2 autres il n'y a pas de solution au système.

[Taz01]

Ok, merci beaucoup pour toutes ces infos !