Exercice de somme de suite

[Maylisttt]

Donc voilà, je ne sais vraiment pas par où commencer dans cet exercice, de plus j'ai beaucoup de mal avec la notation sigma de la somme..
Voici l'énoncé :
On considère la suite (Un) définie pour tout n qui appartient à IN par Un = 5 × 2^n + 4n - 1
Montrer que n
Σ Uk=5(2^n+1 -1)+(n + 1)(2n -1)
k=0

Désolé je n'ai pas pu noter ça autrement, le n est au dessus du sigma et le k=0 en dessous, et le 2^n+1 c'est bien tout le n+1 qui est en explosant, n+1 étant bien le terme suivant n, histoire d'être bien comprise :)

[qaterio]

la somme des Uk de 0 à n est : U0+U1+...+Un. (sigma est une notation pour éviter d'énumérer les termes, ça aère plus la formulation. Toutefois, il peut être bon de l'écrire en énumérant ces termes pour 'voir' quelque chose que l'on aurait pas vu sinon, mais ce n'est pas la question).
Tu as du apprendre un raisonnement pour vérifier si une propriété qui dépend d'un paramètre n est vraie, utilises-la et go !

[Ben314]

Salut,
On peut aussi directement calculer la somme sans faire de récurrence vu qu'elle est composée d'un truc de la forme 1+q+q^2+...+q^n et d'un autre de la forme 1+2+3+...+n et qu'on connais très bien les deux sommes en question.

[Maylisttt]

Je n'ai pas très bien compris ou vous vouliez en venir. Il a deux formes ?

[Maylisttt]

Qaterio, je ne vois pas comment procéder avec la récurrence (je ne vois que cette propriété )

[pascal16]

Montrons que
(Σ Uk jusquà n+1) -(Σ Uk jusquà n)=Un+1
et que c'est vrai pour n=0

variante :
Σ1 de 0 à n = n+1
Σn de 0 à n = n(n+1)/2
Σn² de 0 à n = n(n+1)(2n+1)/6

[Maylisttt]

Je n'ai vraiment pas compris ce que vous avez écrit, pouvez vous m'expliquer ? Merci

[pascal16]

Un = 5 × 2^n + 4n - 1

So=Σ1 de 0 à n = n+1
S1=Σn de 0 à n = n(n+1)/2
S2= Σn² de 0 à n = n(n+1)(2n+1)/6

ΣUn = 5 × S2 + 4S1 - S0
aller plus loin, c'est t'écrire la réponse, faut pas pousser

variante, sauf erreur de calcul, on fait moins de faute écrit à la main
Σ Uk=5(2^(n+1) -1)+(n + 1)(2n -1)
Σ^(n+1) - Σ^(n)= 5(2^(n+1+1) -1)+(n + 1+1)(2n+2 -1)-[5(2^(n+1) -1)+(n + 1)(2n -1)]
(double distributivité vu au collège, conformée au lycée)
= 5(2 *2^(n+1) -1) + (n + 1)(2n-1) +(2n-1) + (n+1)(2)+1(2) -[5(2^(n+1) -1)+(n + 1)(2n -1)]
= 5 *2^(n+1)+(2n-1) + (n+1)(2)+1(2)
= presque fini, un "-" s'est peut-être égaré et il faut regrouper 4n en 4(n+1)-...

[pascal16]

c'est marrant, je voulais écrire confirmée et (c'est pas moi, c'est mon clavier sans qui a été victime d'une interférence) il est apparu conformée qui est tout à fait valable.

Au niveau difficulté de l'exo, au lycée, Σ met un peu de temps à bien être compris et pour une fois, les probas aident bien. Si le prof demande ce niveau, c'est soit de la recherche soit une continuité de ce qui a été déjà fait, donc faisable.

[Maylisttt]

Mais en fait je ne comprends vraiment pas les trois premières lignes de votre explication, d'où êtes vous parti, c'est simplement ce que je demandais. Je ne comprends pas pq la somme de o à n est égale à n, ni pourquoi vous avez écrit sigma1

[Maylisttt]

Pouvez vous développer votre explication, je n'ai en aucun cas demander les réponses, et s'il vous plait ne soyez pas désagréable.

[qaterio]

Uk=5.2^k+4k-1.
Tu peux écrire ça sous la forme de trois séries (sigma) dont tu connais les valeurs générales. Comme l'a dit @Ben314. Ou bien alors si tu n'y arrives vraiment pas comme ça. Tu fais un raisonnement par récurrence.

[aviateur]

Bonjour
D'abord, sauf erreur, je n'ai vu personne de désagréable.
Mis à part cela je fais un résumé des différentes remarques:
Tu as une expression de en fonction de n.
Et puis on te demande de montrer que
quelque chose en "fonction de n." que je note f(n).

Pour le démontrer il y a l'option évidente de faire une démo par récurrence.
Néanmoins quelqu'un qui a une certaine vision des mathématiques voit que: on aurait pu voir par soi même ce qu'est la fonction de n (cf message de @ben).

Donc pour toi progresser il serait bien que tu vois les 2 démo.
Commençons par la récurrence:
Pour n=0 c'est évident ( à faire)
Supposons que pour un entier , on a
Il faut démontrer que .
On te fait remarque que
Donc par hypothèse de récurrence on a :

Il reste donc à calculer et montrer que c'est égal à f(n+1).
Peux-tu le faire?

Deuxième méthode. On calcule nous même l'expression de f(n):
On a

Mais c'est une somme d'une suite géométrique (connu, tu peux le faire?)
Mais ( hyper connu, voir Gauss )
(facile)

Tu peux finir s-t-p

[Maylisttt]

Je ne comprends vraiment rien, j'aimerai juste comprendre par où commencer, quelle expression prendre ? Et pour la récurrence quel rang n veut on prouver ?

[aviateur]

Bonjour
Alors pour commencer, on va simplement faire la démonstration par récurrence.
Tu démontres tout simplement que la propriété est vrai pour n=0.

[Maylisttt]

Pourquoi inclure des fonctions la ou il ny en a pas ?

[Maylisttt]

Et c'est là somme de Uk qu'on cherche, pourquoi on fait des sommes avec 1,2 et 3

[pascal16]

Le deux premières sommes sont connues :
pour i allant de 0 à n
Σ1 = 1 + 1+....+1 = n+1

pour i allant de 0 à n
Σi = 1 + 2+3+....+n = n(n+1)/2

[danyL]

Et c'est là somme de Uk qu'on cherche, pourquoi on fait des sommes avec 1,2 et 3

k est l'indice de la somme, il varie de 0 à n d'après ton énoncé
la somme des Uk pour k variant de 0 à n est égale à U0 + U1 + U2 + ... + Un

Un = 5 × 2^n + 4n - 1

exemple avec n = 3
k varie de 0 à 3
(correspondant à la 2eme méthode du post d'aviateur de 11:37)
U0 = 5 × 2^0 + 4 x 0 - 1
U1 = 5 × 2^1 + 4 x 1 - 1
U2 = 5 × 2^2 + 4 x 2 - 1
U3 = 5 × 2^3 + 4 x 3 - 1

pour simplifier le calcul de la somme S = U0 + U1 + U2 + U3 on peut regrouper les termes en 5 x 2^k puis les termes en 4 x k puis les termes -1
cela donne :
S = (5 × 2^0 + 5 × 2^1 + 5 × 2^2 + 5 × 2^3) + (4 x 0 + 4 x 1 + 4 x 2 + 4 x 3) -1 -1 -1 -1
en mettant en facteur les constantes :
S = 5 x (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) + 4 x (0 + 1 + 2 + 3) + (-1) x 4

or tu sais calculer directement 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 car c'est une suite géométrique de raison 2
de meme 0 + 1 + 2 + 3 est une suite arithmétique de raison 1

en extrapolant pour n quelconque, tu devrais obtenir les formules de l'énoncé