Continuité

[achref123]

salut ! svp je veux une démonstration de ce théorème fondamental :
si f est cont sur lR et admet des limites finis en l'infini alors f est bornée sur lR
et merci

[hdci]

Bonjour,

Quelle est la définition d'une limite finie en l'infini ?

En appliquant cette définition en , pouvez-vous conclure qu'il existe un intervalle de la forme sur lequel est bornée ?

Même chose en : bornée sur ?

Que peut-on alors dire de f sur ?

[achref123]

f est bornée mais on n'a pas utilisé le fait qu'elle est continue
mais s'il existe un intervalle ]A,+oo[ f est majorée n'est pas bornée et meme chose pour ]-oo,B]
il faut qu'elle soit bornée ( à la fois minorée et majorée ) c ce que j'ai pas compris

[Ben314]

Salut,

mais s'il existe un intervalle ]A,+oo[ f est majorée n'est pas bornée et meme chose pour ]-oo,B]

Qu'est ce que c'est que ce charabia ?
"S'il existe un intervalle", tu as pas un tout petit peu l'impression que, si on écrit pas ensuite un truc du style "tel que ...", ça n'a pas le moindre sens comme formulation ?
Et c'est sensé vouloir dire quoi f est majorée n'est pas bornée avec deux fois le verbe "être" sans aucune conjonction entre les deux ?
Sans parler bien sur que, si une fonction f est majorée sur un certain intervalle I, ça signifie qu'il existe une constante A telle que l'image de I par f soit contenu dans ]-oo,A[ (et pas dans ]A,+oo[) donc si, en grattant bien, on cherche un "lien" entre la notion de fonction majoré/minoré et la notion de intervalle de la forme ]A,+oo[, c'est plutôt Minoré <-> ]A,+oo[

La seule impression que donne ton charabia, c'est que tu n'a même pas compris que, quand on dit qu'une fonction est majorée/minorée, c'est de l'ensemble des valeurs de f(x) dont on parle et pas de l'ensemble des valeurs de x.
Quand hcdi écrit qu'il faut "conclure qu'il existe un intervalle de la forme sur lequel est bornée", ça signifie montrer qu'il existe A,B et C tels que pour tout x de ]A,+oo[ on a f(x) compris entre B et C.
La borne A n'a absolument rien à voir ni avec un majorant, ni avec un minorant de f.

[hdci]

Effectivement il semble qu'il y ait pas mal de confusion...

Soit la limite finie de en . Cela s'écrit ainsi :



En prenant (puisque c'est "pour tout , en particulier pour ) on va donc trouver un réel tel que sur l'intervalle la fonction est bornée car les images se trouvent confinées dans l'intervalle .

Même raisonnement côté : on va trouver un réel tel que est bornée sur

On va ensuite utiliser la continuité de f pour la borner sur l'intervalle .

Question subsidiaire : et si est-ce que cela change quelque chose ?

[achref123]

il ya rien à changer sauf l'intervalle !?

[hdci]

Ce n'est pas la réponse que j'attendais ; et vous n'avez pas répondu d'ailleurs à la question "bornée sur [B;A] ?"

Vous ne faites pas assez preuve de rigueur dans vos propos : soyez plus rigoureux, les maths c'est avant tout du raisonnement et de la rigueur.

Reprenez le indices que je vous ai donné et montrez que, une fis "trouvé" A et B, f est bornée sur , sur et en supposant que , sur ; puis concluez en regardans ce qui se passe si .

Faites-le proprement sur ce forum !