Démo d'une partie de la formule d'Euler

[zouzou8]

Bonjour le forum,

J'ai besoin de votre aide sur un point particulier de la démonstration de la formule d'Euler. Aucun souci pour les autres points de la démo, mais je bloque sur cet extrait :

On montre facilement qu'on a pour tout réel et tout entier naturel :


Rien de plus n'est précisé et je n'arrive justement pas à le démontrer.

Pour le moment, j'ai voulu passer par une récurrence sur , mais j'ai un souci dans l'initialisation, et dans l'hérédité ...


Initialisation : n=0

Membre de gauche :

Sur , on a :

Membre de droite :


A ce stade, je ne vois pas comment conclure : .
J'ai certainement fait une erreur dans mes calculs mais je ne la trouve pas.


Hérédité :

J'ai voulu partir sur une IPP en posant :
-
-
On a donc :
-
-

Ainsi donc :






A ce stade, et sous réserve de ne pas avoir fait d'erreurs de calcul, j'arrive à faire apparaître , qui est le membre de gauche de l'inégalité à démontrer au rang .

Par ailleurs, j'ai également obtenu ce résultat dans mes pérégrinations :
- si pair, alors
- si impair, alors
Donc pour tout ,

Mais quoi faire après ? Faut-il passer vraiment par une IPP ?
Cette démo semble suffisamment facile pour que rien ne soit détaillé dans le poly ...

Merci beaucoup pour vos aides !

[aviateur]

Bonjour
Pourquoi faire une récurrence?
Tu utilises et le résultat est immédiat

[Kolis]

Il ne me semble pas avoir vu que ?

[aviateur]

Effectivement mais ça ne change pas grand chose : alors au dessus de la deuxième intégrale il faut mettre |x|

[zouzou8]

Bonsoir Aviateur,

Merci pour ta réponse ! Effectivement, à y réfléchir, pas besoin de passer par une récurrence. Malgré tout, cela reste loin d'être immédiat ni facile pour moi. Je dois mal m'y prendre, surtout avec les valeurs absolues. Avec ton post, j'ai ceci :


<=>


Comme pour tout , on a , alors :




1. Si est pair, alors . Donc :


<=>

<=>


1.1. Si , alors . Donc :


1.2. Si , alors . Donc :

<=>

<=>


Je m'enlise ... Et selon ma démarche, il doit y avoir encore le cas impair à traiter.

[Ben314]

Salut,

Non seulement tu "t'enlise", mais en plus, ça me semble faux (ou alors juste mais pas malin du tout comme majoration) dés la première ligne.
Si x<0, ton passage d'une intégrale de 0 à x à une intégrale de 0 à |x|=-x : tu le justifie comment ?

Bref, commence par traiter le cas x>0 puis ensuite le cas x<0 sans chercher à écrire les deux cas "en même temps" à l'aide de valeurs absolues. Ça se passera tout de suite mieux.

[zouzou8]

Bonjour Ben,

Merci pour ta réponse ! Le cas est réglé

Pour , je pense que rien ne change (par rapport à la démo ) jusqu'à cette étape :



L'idée selon moi est de déterminer le signe de afin de trouver la bonne primitive.

On a : et , donc .

Si est pair, alors donc
Si est impair, alors donc

C'est correct jusque là ? Merci !

Question subsidiaire : c'est réellement de niveau "révision de début de 1ère année post-bac" ? En d'autres termes, c'est ce qu'il y aura de plus facile désormais ? Cette démo fait intervenir la formule de Taylor avec reste intégrale (que l'on nous dit d'admettre), les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus (que l'on nous dit d'admettre), les IPP, la définition de l'exponentielle complexe, les factoriels, les valeurs absolues dans le calcul de primitives. Ca fait beaucoup d'un coup je trouve ... Surtout que c'est estampillé "on démontre facilement que".

[aviateur]

Bonjour
Je confirme la remarque de @ben: concernant les | | le réflexe c'est de s'en débarrasser pour rendre les calculs plus faciles en considérant différents cas : ici donc |x|= x si x>0 et |x|=-x si x<0.
Pour ton deuxième cas et bien à la première ligne c'est faux. En effet tu as enlevé la valeur absolue (à la borne) et donc tu intègres sur de 0 à x une fonction positive et c'est négatif. Donc ta majoration est fausse.
exemple

reprenons le calcul avec x<0

Ilreste à calculer cette dernière intégrale. (normalement tu peux faire le changement de variable u=x-t mais je pense que cela ne se fait pas en TS?) donc on fait comme ça:

Encore une fois il faut enlever la | |:
si alors et on |x-t|=(t-x)

Donc en remplaçant

[aviateur]

Concernant ta question subsidiaire:
"on montre facilement que" c'est une expression très souvent employée en mathématiques mais c'est à employer avec précaution.
Evidemment si je m'adresse à quelqu'un pour faire une démonstration, il y a des parties plus faciles qui ne demandent pas la peine d'être rédigées.
Par exemple cet exercice qui te semble difficile pour le moment, te semblera plus facile plus tard et si tu as cela à faire dans une démo plus élaborée tu ne vas tout de même pas perdre ton temps à tout refaire.
Mais le "on le montre facilement" dans ce cas ici, i.e dans ta situation de juste après post-bac, c'est un peu exagéré.
Concernant le niveau, ben c'est des math alors je trouve assez normal de monter en puissance. Ce qu'il faut c'est ne pas se décourager. Car la progression se fait avec 10 % d'inné et 90 % de travail.

[zouzou8]

Merci beaucoup Aviateur ! Je vais essayer de progresser ce midi avec tes indications

[zouzou8]

C'est tout bon. Merci beaucoup pour vos réponses Ben et Aviateur !