Bonjour le forum,
J'ai besoin de votre aide sur un point particulier de la démonstration de la formule d'Euler. Aucun souci pour les autres points de la démo, mais je bloque sur cet extrait :
On montre facilement qu'on a pour tout réel et tout entier naturel :
Rien de plus n'est précisé et je n'arrive justement pas à le démontrer.
Pour le moment, j'ai voulu passer par une récurrence sur , mais j'ai un souci dans l'initialisation, et dans l'hérédité ...
Initialisation : n=0
Membre de gauche :
Sur , on a :
Membre de droite :
A ce stade, je ne vois pas comment conclure : .
J'ai certainement fait une erreur dans mes calculs mais je ne la trouve pas.
Hérédité :
J'ai voulu partir sur une IPP en posant :
-
-
On a donc :
-
-
Ainsi donc :
A ce stade, et sous réserve de ne pas avoir fait d'erreurs de calcul, j'arrive à faire apparaître , qui est le membre de gauche de l'inégalité à démontrer au rang .
Par ailleurs, j'ai également obtenu ce résultat dans mes pérégrinations :
- si pair, alors
- si impair, alors
Donc pour tout ,
Mais quoi faire après ? Faut-il passer vraiment par une IPP ?
Cette démo semble suffisamment facile pour que rien ne soit détaillé dans le poly ...
Merci beaucoup pour vos aides !