Equation fonctionnelle

[BillyBob]

Bonsoir à tous, je viens de rentrer en première et on m'a distribuer un DM sur les équations fonctionnelle, le problème c'est que l'année dernière j'avais un prof qui ne savait pas du tout expliquer les cours, en plus il y a eu les vacances... J'ai déjà passé quelques heures à regarder des vidéos et des documents mais c'est toujours beaucoup trop compliqué, si quelqu'un pouvait juste, sans forcément donner les réponses, juste me donner des astuces ou la méthodes à utiliser pour résoudre le problème ce serais génial ! Voici le sujet :

On dira qu'une fonction f est solution de l'équation fonctionnelle (E) si pour tous les réels x et y, on a :
f(x+y)=f(x)+f(y) (déjà là c'est le flou total )

1) Soit f la fonction définie sur ℝ par l'expression f(x)=2x. Montrer que f est solution de l'équation fonctionnelle (E).
(Si quelqu'un peut me détailler comment faire sans donner la réponse juste histoire de comprendre)
2) Soit g la fonction définie sur ℝ par l'expression g(x)=2x+1. La fonction g est-elle solution de (E)?
3) Soit h une solution de l'équation fonctionnelle (E). Montrer qu'alors h(0)=0.
4) Trouver une fonction j telle que j(0) = 0 mais qui ne sois pas solution de (E).

Merci beaucoup à tout ceux qui prendront le temps de répondre

[pascal16]

x et y sont des variables muettes, pas un truc du genre y=f(x).
on se sert de y , de x+y comme de x

f(x)=2x


f(x+y) = 2 (x+y) = 2x + 2y = f(x) + f(y)

[Carpate]

Si f(x) = 2x, f(x+y) = 2 (x+y) on remplace x par x + y
Continue ...

[BillyBob]

Si f(x) = 2x, f(x+y) = 2 (x+y) on remplace x par x + y
Continue ...

Merci beaucoup, et vous auriez des petites aides comme ça pour les autres questions ?

[Lostounet]

Salut BillyBob,

Alors ce n'est pas difficile mais un peu nouveau.
Tu sais déjà ce qu'est une équation d'inconnue x: il s'agit d'une égalité faisant intervenir un nombre x à trouver.

Une équation fonctionnelle, c'est aussi une équation mais cette fois-ci l'inconnue est une fonction f et pas un nombre.

Donc ici le but est de résoudre f(x+y)=f(x)+f(y) mais en fait x et y ne sont pas des inconnues mais c'est bien la fonction f que l'on cherche. Normal que tu n'y arrives pas car les équations fonctionnelles en mathématiques sont particulièrement difficiles.

Heureusement que ici on te demande juste de savoir manipuler un peu sur des exemples.
Donc le but de cet exercice est d'essayer de trouver quelques fonctions pour lesquelles l'égalité ci-dessus est vraie.

1) Soit f la fonction définie sur ℝ par l'expression f(x)=2x. Montrer que f est solution de l'équation fonctionnelle (E).
(Si quelqu'un peut me détailler comment faire sans donner la réponse juste histoire de comprendre)

Regardons ensemble si f(x)=2x est une fonction qui résout l'équation f(x+y)=f(x)+f(y)
Prenons deux nombres x et y.

On a d'une part f(x)=2x et f(y)=2y
D'autre part f(x+y)=2(x+y) = 2x + 2y = f(x)+f(y)

Donc oui ! Cette fonction linéaire est une solution à l'équation fonctionnelle.

À toi de jouer pour voir si la fonction suivante du 3) marche... c'est pareil.

[pascal16]

g(x)=2x+1
donc
g(x+y) = 2(x+y) + 1 = 2x+1+.... = g(x)+ ....

[BillyBob]

Salut BillyBob,

Merci beaucoup pour cette réponse, si je suis la logique, c'est donc censé donné ceci:
g(x+y)= 2(x+y)+1=2x+2y+1=f(x)+f(y)+1
C'est bon ?
Après j'avoue que j'ai du mal à comprendre pourquoi f(x+y)= 2(x+y) et pas 2x+y

[pascal16]

g(x+y)= 2(x+y)+1=2x+2y+1=(2x+1) +( 2y+1) - 1 =f(x)+f(y)-1
C'est pas bon !


Après j'avoue que j'ai du mal à comprendre pourquoi f(x+y)= 2(x+y) et pas 2x+y
imagine un nuage à la place de x
f(x) = 2x

f(x) = 2 "nuage"
tu remplaces le nuage par x+y en respectant

f(x) = 2 "x+y"

mais y+y est dans le nuage, c'est comme des parenthèses

f(x) = 2 (x+y)

on distribue le 2...

[Lostounet]

Salut BillyBob,

Merci beaucoup pour cette réponse, si je suis la logique, c'est donc censé donné ceci:
g(x+y)= 2(x+y)+1=2x+2y+1=f(x)+f(y)+1
C'est bon ?
Après j'avoue que j'ai du mal à comprendre pourquoi f(x+y)= 2(x+y) et pas 2x+y

Tu as raison, g(x+y)=2x+2y+1. Par contre attention, car g(x)=2x+1 et g(y)=2y+1

Estce que g(x+y)=g(x)+g(y) ?

Si tu ne comprends pas pourquoi 2(x+y)=2x+2y au lieu de 2x+y, imagine que tu as deux sacs.
Chaque sac contient 1 pomme et 2 bananes: combien de fruits de chaque sorte as-tu ?
Réponse: 2×(1Pomme + 2Bananes) =2×1Pomme + 2×2Bananes = 2 Pommes + 4Bananes

(Et donc logiquement pas 2Pommes +2Bananes ! Le 2 doit multiplier chaque variété de fruit)

C'est la règle qui s'appelle "règle de la distributivité":
k×(a+b)=k×a + k×b

[BillyBob]

g(x+y)= 2(x+y)+1=2x+2y+1=(2x+1) +( 2y+1) - 1 =f(x)+f(y)-1
C'est pas bon !

Le truc c'est que du coup il y a Lostounet qui me dis que c'est bon et vous qui me dîtes que c'est faux du coup je suis pas sûr

Merci pour l’explication de la distributivité en tout cas
Mais du coup si j'avais bon et que g(x+y)= 2(x+y)+1= f(x) + f(y) + 1 ça veut donc dire que g(x+y)≠g(x)+g(y)
Et si j'ai faux et que c'est g(x+y)=f(x)+f(y)-1 ça veut dire que g(x+y)≠g(x)+g(y) également... donc dans tout les cas g(x) n'est pas une solution de (E) mais quel est la bonne formule pour le prouver ?

[pascal16]

on dit la même chose : ça marche pas
l'un dit qu'il y a 1 en trop d'un coté de l'égalité, l'autre -1 de l'autre coté.

[Lostounet]

g(x+y)= 2(x+y)+1=2x+2y+1=(2x+1) +( 2y+1) - 1 =f(x)+f(y)-1
C'est pas bon !

Le truc c'est que du coup il y a Lostounet qui me dis que c'est bon et vous qui me dîtes que c'est faux du coup je suis pas sûr

Merci pour l’explication de la distributivité en tout cas
Mais du coup si j'avais bon et que g(x+y)= 2(x+y)+1= f(x) + f(y) + 1 ça veut donc dire que g(x+y)≠g(x)+g(y)
Et si j'ai faux et que c'est g(x+y)=f(x)+f(y)-1 ça veut dire que g(x+y)≠g(x)+g(y) également... donc dans tout les cas g(x) n'est pas une solution de (E) mais quel est la bonne formule pour le prouver ?

Ah je viens de comprendre une de tes difficultés: en fait les questions sont indépendantes !
Donc on a vu que f(x+y)=f(x)+f(y).

Dans la question suivante, il n'y a pas de fonction f il faut l'oublier (même si on voit du 2x et 2y c'est un hasard ici).

Donc là on veut voir si g(x+y)=g(x)+g(y).
Tu as calculé d'une part g(x+y)=2x+2y+1
Tu sais que g(x)=2x+1 et que g(y)=2y+1

Est-ce que - SELON TOI - on a bien g(x+y)=g(x)+g(y)?
Que vaut g(x)+g(y) ? Est-ce pareil que g(x+y) ?

[BillyBob]

Est-ce que - SELON TOI - on a bien g(x+y)=g(x)+g(y)?
Que vaut g(x)+g(y) ? Est-ce pareil que g(x+y) ?

Le problème c'est que selon moi g(x+y) est bien égal à g(x)+g(y) car les deux fonctions sont égal donc on a d'un coté la fonction de x donc f(x) qui est 2x+1 et la fonction de y donc f(y) qui est 2y+1, ça reprend le paterne du 1) où f(x)=2x et f(y)=2y qui donnait donc 2x+2y = f(x)+f(y) et donc f(x+y)=f(x)+f(y).... du moins je pense

[Lostounet]

Est-ce que - SELON TOI - on a bien g(x+y)=g(x)+g(y)?
Que vaut g(x)+g(y) ? Est-ce pareil que g(x+y) ?

Le problème c'est que selon moi g(x+y) est bien égal à g(x)+g(y) car les deux fonctions sont égal donc on a d'un coté la fonction de x donc f(x) qui est 2x+1 et la fonction de y donc f(y) qui est 2y+1, ça reprend le paterne du 1) où f(x)=2x et f(y)=2y qui donnait donc 2x+2y = f(x)+f(y) et donc f(x+y)=f(x)+f(y).... du moins je pense

Si je te dis que g(x)=2x+1
Et g(y)=2y+1

Pourrais-tu écrire g(x)+g(y) en fonction de x et de y ?

[BillyBob]

Si je te dis que g(x)=2x+1
Et g(y)=2y+1

Pourrais-tu écrire g(x)+g(y) en fonction de x et de y ?

ça donnerait... 2(x+y)+2 je pense

[Lostounet]

Oui... ou bien 2x+2y+2

Estce que ça, c'est à ton avis égal à g(x+y)=2x+2y+1

[BillyBob]

Oui... ou bien 2x+2y+2

Estce que ça, c'est à ton avis égal à g(x+y)=2x+2y+1

non c'est égal à g(x+y+1) du coup c'est ça ?

[Lostounet]

Bien tenté mais.... g(x+y+1)=2(x+y+1)+1 = 2x+2y+2 +1 = 2x+2y+3

Bon en tout cas les expressions g(x+y) et g(x)+g(y) ne sont pas égales....

[BillyBob]

Bien tenté mais.... g(x+y+1)=2(x+y+1)+1 = 2x+2y+2 +1 = 2x+2y+3

Bon en tout cas les expressions g(x+y) et g(x)+g(y) ne sont pas égales....

D'accord merci beaucoup en tout cas... je vais essayer de m'en sortir pour la suite

[Lostounet]

Bon courage.