Geométrie

par **bab0u** » 05 Nov 2006, 17:49

Gros trous de mémoire et je ne retrouve pas mes cours des années précédentes sur ce sujet,

Soient A B et C trois pts du plan.

Déterminer l'ensemble des points M tels que AM²+3BM²-2CM²=3

par **Imod** » 05 Nov 2006, 17:52

Faire intervenir le barycentre de A(1) , B(3) et C(-2) avec la relation de Chasles et

.

Imod

par **bab0u** » 05 Nov 2006, 17:57

Pouvez-vous m'en dire plus?

par **Imod** » 05 Nov 2006, 18:09

Je détaille un peu , mais je ne met pas les flèches sur les vecteurs ( paresse quand tu nous tient )
AM^2+3BM^2-2CM^2=3
(AG+GM)^2+3(BG+GM)^2-2(CG+GM)^2=3
En développant les carrés vu le bon choix de G ( le barycentre défini plus haut ) de nombreux termes disparaissent et on obtient une égalité du genre ( aux erreurs de calcul près ): 2.GM^2=3-AG^2-3BG^2+2CG^2 .
La conclusion est facile .

Imod

par **bab0u** » 05 Nov 2006, 18:16

je suis dsl mais je ne vois vraiment pas comment conclure... J'ai compris comment vous êtes arrivé à ce résultat mais je ne vois pas où il me mène...

par **Imod** » 05 Nov 2006, 18:25

Le membre de droite est une constante ( indépendant de M ) donc l'équation se ramène à GM^2 = K . Pour conclure il faut discuter selon le signe de k ( cercle , point ou vide ) .

Imod

par **bab0u** » 05 Nov 2006, 18:28

Je pense que l'ensemble des points M forment un cercle de centre G et de rayon cette constante ?

par **Imod** » 05 Nov 2006, 18:49

Oui si K est positif ( le rayon est plutôt rac(K)) . Si K est nul il y a un unique point M=G et si K est négatif il n'y a pas de solution .

Imod

par **bab0u** » 05 Nov 2006, 18:57

Merci beaucoup !

De la même manière j'ai essayé de répondre à
Déterminer l'ensemble des points M tels que AM²+2BM²-3CM² = 3

Seulement 1+2-3=0

Alors j'ai fait,

AM²+2BM²=(AG+GM)²+2(BG+GM)²
on a 1+2 diff de 0
donc AG+2BG=O

Donc GM²+2GM²=3GM²=AM²+2BM²
et 3GM²-3(CG+GM)²=3

et je retombe sur le meme pb qu'au début...

par **Imod** » 05 Nov 2006, 19:19

En introduisant un point G quelconque et en faisant les mêmes calculs , j'arrive à : AM^2+2BM^2-3CM^2=GM(AG+2BG-3CG)=GM(2BA-3CA)=GM.u .
En posant u=2BA-3CA . Comme le point G est quelconque et u fixe , il n'y a pas de solution . Si le second membre était 0 , il y aurait des solutions uniquement quand u=0 et alors tous les points seraient solutions ( aux erreurs de calcul près ) .

Imod

par **bab0u** » 05 Nov 2006, 19:27

Je ne comprends pas comment vous passez de GM(AG+2BG-3CG) à GM(2BA-3CA) :mur:

par **Imod** » 05 Nov 2006, 19:30

En introduisant le point A avec la relation de Chasles .

Imod

par **bab0u** » 05 Nov 2006, 19:31

merci beaucoup !

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