J'aimerais savoir s'il serait possible que vous me donniez un petit coup de main pour que je puisse faire mon exercice.
Voilà l'énoncé de l'exercice:
Pour tout n>2 on pose :
Un = 1/n * [ ln(1/n) + ln(2/n) +... + ln((n-1)/n)]
1)Soit k un entier compris entre 1 et n-1. Montrer que
1/n * ln(k/n) < ∫ ln(t) dt de k/n à (k+1)/n < 1/n * ln( (k+1)/n)
2) Calculer ∫ ln(t) dt
3) En déduire l'encadrement :
-1 + 1/n < Un <-1 + 1/n + ln(n) /n
4) Calculer la limite de la suite (Un)
5) Montrer que Un = ln ( (sqrt(n!) ^n) / n) et en déduire que lim ( (sqrt ( n!) ^n) /n) =1/e
Je sais faire la question 2) grace à l'IPP et j'obtiens ∫ ln(t) dt = t*ln(t) - t. De même je sais faire la question 4) grâce à l'encadrement de la question 3) et l'utilisation du théorème des gendarmes. Et je sais aussi faire la dernière question avec la formule des sommes de Riemann.
Ce sont donc les questions 1) et 3) que je n'arrive pas à démontrer. Je ne vois pas comment démonter ces encadrements et ceci me bloque pour pouvoir résoudre correctement mon exercice et bien comprendre les calculs que je fais dans les autres questions !
J'espère que vous pourrez me permettre de voir tout ça plus clair et de pouvoir faire mon Dm !!
Je vous remercie d'avance de votre aide et de votre temps accordé !!
