Inequation à demontrer

[Aziz007]

Hello !
j'arrive pas a montrer cette inequation :

(1+1/n)^n < e < (1+1/n)^(n+1)

Merci de votre aide

[infernaleur]

Salut,
Tu peux tout d'abord remarquer que
après tu peux utiliser l’inégalité :
(en regardant dans quelles intervalles on peut rendre cette inégalité stricte)


Si tu ne connaissais pas cette inégalité tu peux la démontrer en étudiant la fonction

[Aziz007]

ok merci
je vais essayer

[Aziz007]

il n' y a pas d'autre methode sans passer par ln(1+x)<= x ??

[infernaleur]

Sans utiliser les inégalités ou je vois pas moi.
Et enfaite, j'aurais du te dire d'utiliser l’inégalité avec l'exponentielle comme sa le résultat est direct ....

[Aziz007]

mais pourquoi x+1 < exp(x) ?

[infernaleur]

mais pourquoi x+1 <= exp(x) ?

C'est des inégalités connues qui sont parfois très efficaces.
Pour la démontrer, tu peux par exemple étudier la fonction f(x)=exp(x)-x-1 et montrer qu'elle admet un minimum qui est 0.

[Aziz007]

ok merci

[pascal16]

x+1 < exp(x)

variante
exp() est une fonction convexe
elle est au dessus de toutes ses tangentes
en particulier celle pour x=0
donc exp(x)>=x+1, avec égalité pour x=0

allons plus loin (mais ça sert à rien, c'est pour le fun)
exp() est une fonction convexe
elle est au dessus de toutes ses tangentes
soit a un réel, exp(x) >= (x-a)exp(a) + exp(a) avec égalité pour x=a