Demontrer que f est de classe C1 sur R

[ditans]

Bonjour,

J'ai un petit souci concernant une fonction et l'énoncé de l'exercice.

f(x)= (x²e^(-x))/(1-e^(-2x)) et f(0)=0
telle est la fonction et on me demande de démontrer que f est de classe C1.

Je pense qu'il ya plusieurs facon pour demontrer qu'une fonction est de classe C1 mais est ce qu'il ya une facon qui est dans ce cas plus approprié?
Je sais également qu'il faut demontrer qu'il existe n derivées partielles et que les n fonctions que ces dérivées définissent sont continues en tout point. Pourtant je vois pas comment je peux le faire. J'ai essayer de derivée et de montrer que la dérivée tend vers un nombre fini en 0 mais rien de ters concret.

merci d'avance.

[girdav]

Bonjour.
Il n'y a pas de problème de dérivée partielle car la fonction n'a qu'une variable.
Il s'agit bien de
.
Il faut justifier que est sur .
Ensuite il faut montrer que est dérivable en et que se dérivée est continue en .

[ditans]

oke, donc pour justifier que f est de classe C1 il faut demontrer que f est derivable en o et que sa derivée est continue en O. Et cest tout?
merci en tout cas

[Serru]

Je n'ai pas essayé, mais je pense bien qu'un certain théorème de prolongement des fonctions C1 sera utile ici :we:

[ditans]

aaah voilà, depuis le debut de l'exercice, jhesite a lutiliser, il me semblais bien ^^!! Je vais essayer, ca ne coute rien

[busard_des_roseaux]

bonjour,

voiçi différentes méthodes

1) à la main



en faisant apparaitre un nombre dérivé bien choisi.

2)
tu peux profiter du fait que les membres habituels du forum
qui détestent le théorème de L'Hospital sont en vacances
jusqu'à fin août pour l'appliquer :zen:

3) le TAF (théorème des accroissements finis)



vérifier les hypothèses
la conclusion est immédiate

[xyz1975]

Bonjour,

J'ai un petit souci concernant une fonction et l'énoncé de l'exercice.

f(x)= (x²e^(-x))/(1-e^(-2x)) et f(0)=0
telle est la fonction et on me demande de démontrer que f est de classe C1.

Je pense qu'il ya plusieurs facon pour demontrer qu'une fonction est de classe C1 mais est ce qu'il ya une facon qui est dans ce cas plus approprié?
Je sais également qu'il faut demontrer qu'il existe n derivées partielles et que les n fonctions que ces dérivées définissent sont continues en tout point. Pourtant je vois pas comment je peux le faire. J'ai essayer de derivée et de montrer que la dérivée tend vers un nombre fini en 0 mais rien de ters concret.

merci d'avance.

Il suffit de montrer qu'elle est dérivable sur R et que sa dérivée est continue sur R.

Il est clair que notre fonction est sur le problème se pose alors en zéro.

Pour montrer qu'elle est dérivable en zéro il suffit de calculer la limite

Plusieurs méthodes en particulier le recourt à la limite usuelle :



On peut aussi faire appel aux équivalences.

[ditans]

Merci beaucoup, je trouve que la fonction admet une limite finie en 0 ( à l'aide d'un TAV, ce qui veut donc dire que f est derivable et continue au point 0. Par conséquent f est de classe C1?

[Serru]

Non, une limite finie ne suffit pas, il faut que ce soit 0 afin que ta fonction soit un prolongement par continuité. Si tu as cette limite nulle, alors ta fonction est continue sur R.

Il faut maintenant vérifier que f est de classe C1 sur R* et prouver que f' admet une limite finie en 0.