Probabilités conditionnelles

[Emmato]

Bonsoir

Dans un exercice que je dois réaliser en math, il m'est posé ceci :

"Considérons un modèle simplifié pour la couleur des yeux: Il y a un gène qui détermine la couleur des yeux et il n'y a que deux couleurs d'yeux. La couleur marron est une caractéristique dominante, le bleu est récessif. Il faut donc avoir deux allèles bleus pour avoir les yeux bleus. Chacun des parents donne un des allèles. Voici ce que nous savons:
- 25% des personnes ont les yeux bleus.
- 40% des personnes ont un allèle marron et un allèle bleu.
- Si on a deux allèles différents, chacun des allèles a une probabilité de 50% d'être transmis à son enfant.

Supposons que la mère a les yeux bleus. Si l'enfant a également les yeus bleus, quelle est la probabilité que le père ait les yeux marrons ?(nombre décimal, 3 chiffres derrière la virgule)"

Si vous saviez m'aider à trouver le raisonnement...
Merci !
Emma

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour y voir plus clair (hum), on peut commencer par faire un arbre de probabilités. 1er noeud : les parents avec leurs probabilités (3 branches, les 3 possibilités pour le père), 2ème noeud : les enfants avec leurs probas aussi (2 branches qui partent de chacun des 3 noeuds précédents) .

[Ben314]

Salut,
Je sais pas si c'est toujours malin, mais j'aime bien montrer (au moins au début) que ce genre d'exo, on peut s'en sortir avec zéro formules ni théorie, mais juste avec du bête dénombrement :
On prend 100 couple avec la femme au yeux bleus (donc 2 allènes bleus) avec tout les cas possible pour le conjoints (répartis comme dans les stats.) et on suppose que ces 100 couples ont tous 2 gosses répartis exactement comme si les proba était systématiquement respectées.
Ca donne :
- 25 couples où le père à 2 allènes bleus (donc à les yeux bleus) qui ont forcément leurs deux gosses aux yeux bleus (donc 50 gosses aux yeux bleus)
- 40 couples où le père à un allèle marron et un allèle bleu (donc à les yeux marrons) qui ont donc un gosse aux yeux marrons et l'autre aux yeux bleus (donc 40 gosses aux yeux bleus)
- Les autres où le père à 2 allènes marrons, ben on s'en fout vu que les gosses auront forcément les yeux marrons.

Bilan : 50+40 = 90 gosses aux yeux bleus dont 50 ont un père aux yeux bleu : proba =50/90.

Et l'autre intérêt de la méthode "à la main complet", c'est qu'elle dégage très souvent des "sous entendus" de l'énoncé. Par exemple ici, en rédigeant "à la main", on se rend compte que pour pouvoir mener les calculs, il faut supposer qu'il y indépendance entre les différents types d'allènes et le nombre de gosse : dans le calculs, on a considéré que le nombre de gosse était systématiquement 2, quel que soit les allènes des parents.
Par exemple, (en exagérant), si les couples dont les deux parents ont les yeux bleus étaient systématiquement stériles, la réponse à la question serait évidente : le père à forcément les yeux marrons ...

[Emmato]

Merci beaucoup pour la réponse! C'est une méthode très clair et efficace !

[Ben314]

Sauf que, toujours à mon avis, ce type de raisonnement, c'est bien quand on débute, histoire de garder "les pieds sur terre" et de comprendre que les calculs / notations qu'on a en proba., ben c'est pas que du charabia.

Mais petit à petit, il faut aussi s'habituer au formalisme des probas avec ces p(A), p(A inter B) et autre p(A sachant B) ainsi qu'aux différentes formules correspondantes (plus bien sûr les "arbres de probabilités" dont parle pseuda).

Là, dans l'exo, je sais pas si un "arbre de proba" est attendu (je connait pas bien le point de vu Lycée de la question), mais je suis à peu prés sûr qu'un truc attendu, c'est le fameux proba(A sachant B)=...

[Pseuda]

Dans un cas "simple" comme celui-ci, l'intérêt d'un arbre de probabilités est principalement de pouvoir faire l'exercice (calculer toutes les probas demandées) très mécaniquement, sans pratiquement aucune réflexion.

[beagle]

D'abord je dirais méfie toi de Ben314, la question demandait les pères aux yeux marron et il a donné la réponse des pères aux yeux bleus!
Plus sérieusement, ah que j'aime lire Ben314.Parce que c'est marrant mais lorsque je suis un peu paumé, plus fatigué, plus fainéant, ben il m'arrive pour me faciliter la vie de ne plus raisonner en probas, ne plus raisonner en fractions, mais de raisonner avec des entiers (ou presque), en revenant à la centaine.Au lieu de manipuler p(A) = 0,45, ben tu dis sur 100 (personnes ou tirages ou...) j'en ai 45 qui ont ou font A.
Alors l'intérèt des fois c'est lorsque tu n'es pas sur que les fractions s'additionnent ou se multiplient.Tu n'es pas sur que les évènements soient accolés (addition de fractions) ou emboités (fraction de fraction).
En fait il s'agit de changer le temps, c'est marrant, on change juste l'unité de temps,
la proba c'est le futur, si je fais demain l'expérience j'aurais 0,45 chances de A
les chiffres c'est le présent ou le passé, j'ai fait 100 fois l'expérience , j'ai maintenant 45 A.
Enfin bref, tout ceci n'est que du repérages car derrière il ya l'idéee je veux ma somme probas totales soient 1, ou alors je veux que la somme des évènements déjà realisés fasse 100.

[beagle]

Ensuite s'il faut comme le dit Ben314 l'écrire proprement avec la belle formule,
ben faut surtout pas penser que cette écriture tombe du ciel, est première.
C'est pourquoi tu dois utiliser l'arbre de proba ou (ET) les ensembles qui se résume à un tableau de deux fois deux entrées,
et là la formule, elle est à lire directement sur le tableau.
J'y reviens dans qqs mn ou heures.

[beagle]

Ben314:"mais je suis à peu prés sûr qu'un truc attendu, c'est le fameux proba(A sachant B)=..."

alors quel rapport avec ce que tu fais lorsque tu fais un tableau?
il ya deux évènements A et B, cela donne 4 possibilités:
A et B
A et nonB
nonA et B
nonA et nonB
refaisons le tableau avec colonnes A et nonA
rangées B et nonB dans les 4 cases du tableau on note a,b,c,d les probas respectives
a b
c d

lorsque je veux savoir proba de A sachant B, ben c'est
se placer dans B, réalisé donc nous sommes dans la rangé B
nous sommes dans un total qui est a+b
et là on cherche A, ben il est en quantité a
et sa "proportion" dans B c'est : a / (a+b)

alors on veut l'écrire proprement
p de A sachant B = p( A et B) / [p( A et B) + p( nonA et B)]

c'est pas encore comme dans le cours,
bon ok on écrit p(A inter B) / p(B)

et comment on écrit p A sachant B
pB(A) ou encore p (A/B)

bon ben c'est tout quoi, c'est pas la définition mathématique qui crée la proba conditionnelle
c'est la proba conditionnelle qui engendre sa formule!!!!!!
Qs c'est pas la formule de l'indépendance qui crée les probas indépendantes, ce sont les situations des évènements qui engendrent la formule.Mème si les mathématiciens se fichent du sens puisque on a dans le cas de l'indépendance une équivalence.Mais faire croire que des formules engendrent les situations????

[beagle]

Quant à l'intérèt de l'arbre, c'est que pour connaître a,b,c,d on le fait branches par branches
c'est très commode.

[Emmato]

Merci bcp pour toutes les réponses, j'arrive mieux à comprendre d'où sort la formule!