Suites

[Lostounet]

Bonsoir..
Malheureusement si c'est pour demain c'est cuit car Pseuda est allée dormir ! Et moi aussi bientot.

Mais vu que je suis très gentil.. je vais t'aider mais à toi de vérifier mes calculs..
Si on devait réduire par exemple:
1/2+1/8+1/4 au même dénominateur qu'est-ce qu'on ferait?

Tu peux me dire: on choisit le produit des dénominateurs 2*8*4=64 comme dénominateur commun et on fait:
1/2+1/8+1/4=(1*32)/(2*32)+(1*8)/(8*8)+(1*16)/(4*16)
=(32+8+16)/64=(56)/64 = (8*7)/(8*8)=7/8

Ou alors au lieu de faire tous ces calculs chiants on peut être plus raffinés et se dire que dès le début on va choisir un dénominateur commun plus petit. En effet 2, 8 et 4 ont pour multiple commun 8 ! (On est pas obligés de faire le produit des 3).

Du coup on se dit: par quoi on multiplie 2 pour trouver 8?
Par quoi on multiplie 8 pour trouver 8?
Par quoi on multiplie 4 pour trouver 8?
Donc 1/2+1/8+1/4=(1*4)/(2*4)+1/8 + 2/8
= (4+1+2)/8=7/8
On trouve pareil mais tu vois.. les calculs sont plus simples pour le second cas quand on choisit un dénominateur commun multiple de tous les autres mais qui soit le plus petit possible. Il se trouve qu'il figure déjà dans le calcul: ça vaut 8.

Bref maintenant que cela est limpide on peut réduire au même dénominateur la somme:
1/(n+1)! + 1/(n+1)(n+1)! - 1/(n x n!)

On choisit n(n+1)(n+1)! Pour dénominateur commun (pour éviter des gros calculs..en fait ceci est presque comme le "8" de l'exemple d'avant).

Puis on se demande: (n+1)! Fois combien devient n (n+1)(n+1)!
Ben fois n(n+1)
Et (n+1) (n+1)! Fois combien devient n(n+1)(n+1)! Ben fois n
Et enfin n*n! Doit être multiplié par (n+1)*(n+1) pour devenir n(n+1)*(n+1)!

Donc cela donne:

1/(n+1)! + 1/(n+1)(n+1)! - 1/(n x n!)
=(n(n+1))/(n(n+1)(n+1)!) + n/(n(n+1)(n+1)! - (n+1)^2/(n(n+1)(n+1)!)

= [n(n+1) + n - (n+1)^2]/n(n+1)(n+1)!

Il faut étudier le signe du dénominateur qui est un trinôme du second degré qu'il te faut développer en entier pour le refactoriser pour voir pour quels n il est positif.

[Pauline29]

Bonjour,
Tout d'abord, un grand merci à vous deux, vous me sauvez la vie ^^
Par contre, @Lostounet à la fin de ton message tu me dis 'Il faut étudier le signe du dénominateur qui est un trinôme du second degré qu'il te faut développer en entier pour le refactoriser pour voir pour quels n il est positif.' Mais ne serait-ce pas plutôt le numérateur ? tu parles de second degré donc je suis partie de ce principe et je suis arrivée à :

n(n+1) + n - (n+1)²
= n² + n + n - (n² + 2n + 1)
= n² + 2n - n² -2n -1
= -1

Est-ce bon ?
Si oui, vu que -1 < 0, ce serait la justification pour la suite décroissante ?
Merci encore de votre aide

[Pauline29]

Pour la suite de la question (qui est : " justifier que (Un ) est majorée par V1 ") j'ai d'abord calculée V1
V1 = U1 + 1/(1 + 1!)
= U1 + 1/2
= 1 + 1/2 (U1 = 1/1 * 1/1 ?)
= 3/2 ?
Ce résultat est-il bon ? Pour la suite, dois-je faire une démonstration par récurrence ?<

[Pauline29]

Une idée m'est venue en repensant au problème.
Pour dire que V1 est un majorant de Un, est-ce que l'on pourrait dire que vu que (Vn) comporte Un + un membre positif, alors (Vn) sera toujours un majorant de Un pour tout n ?

(pourtant, au final, mon idée me parait bête)

[Pseuda]

Bonjour,
Tout d'abord, un grand merci à vous deux, vous me sauvez la vie ^^
Par contre, @Lostounet à la fin de ton message tu me dis 'Il faut étudier le signe du dénominateur qui est un trinôme du second degré qu'il te faut développer en entier pour le refactoriser pour voir pour quels n il est positif.' Mais ne serait-ce pas plutôt le numérateur ? tu parles de second degré donc je suis partie de ce principe et je suis arrivée à :

n(n+1) + n - (n+1)²
= n² + n + n - (n² + 2n + 1)
= n² + 2n - n² -2n -1
= -1

Est-ce bon ?
Si oui, vu que -1 < 0, ce serait la justification pour la suite décroissante ?
Merci encore de votre aide

Bonsoir,

C'est bon. Vn suite décroissante.

[Pseuda]

Pour la suite de la question (qui est : " justifier que (Un ) est majorée par V1 ") j'ai d'abord calculée V1
V1 = U1 + 1/(1 + 1!)
= U1 + 1/2
= 1 + 1/2 (U1 = 1/1 * 1/1 ?)
= 3/2 ?
Ce résultat est-il bon ? Pour la suite, dois-je faire une démonstration par récurrence ?<

Non, U1=2 et V1=3 ?

[Pseuda]

Une idée m'est venue en repensant au problème.
Pour dire que V1 est un majorant de Un, est-ce que l'on pourrait dire que vu que (Vn) comporte Un + un membre positif, alors (Vn) sera toujours un majorant de Un pour tout n ?

(pourtant, au final, mon idée me parait bête)

Oui Un<=Vn pour tout n. Pour bien comprendre ce qu'il se passe, je te conseille de faire un dessin : une grande ligne où tu places U1 tout à gauche et V1 tout à droite, Un croissante, Vn décroissante, et Un<=Vn pour tout n.

[Pauline29]

Merci pour vos réponses précieuses

Pour U1 et V1 c'était des erreurs de ma part, j'ai inversée les + et x dans les différentes opérations. Je trouve aussi U1 = 2 et V1 = 3 en refaisant de mon côté.

Pour justifier que V1 est un majorant de (Un) puis-je écrire ce que je disais auparavant ? (càd "vu que (Vn) comporte Un + un membre positif, alors (Vn) sera toujours un majorant de Un pour tout n")

[Pseuda]

Oui tu peux partir comme ça. Il faut ensuite répondre à la question : montrer que la suite (Un) est majorée par V1. (de dire que Un est majoré par Vn ne veut rien dire en quelque sorte : autant dire que Un est inférieur à Vn pour tout n).

[Pauline29]

Merci pour votre aide
J'ai donc marqué ça:
Vn - Un = 1/(n x n!) > 0
Donc Vn >= Un
Donc V1 >= Vn >= Un ((Vn) étant décroissante, V1 est le plus grand des termes)
Alors V1 >= Un
(Un) est donc majorée par V1

Je ne vois pas d'autre moyens de le justifier ...

[Pseuda]

C'est ça. Il faut juste rajouter "quelque soit n entier naturel" ...

[Pauline29]

Merci beaucoup !
Pour la 3) et la 4) je suppose qu'il faut dire:

3) (Un) est croissante et majorée donc converge.

4) (Vn) est décroissant et minorée donc converge.

Me suffit-il de simplement répéter la propriété donnée dans le cours ou faut-il rajouter quelque chose ?

[Pseuda]

Non c'est bon, pas la peine de citer le théorème. Mais il faut montrer que (Vn) est minorée aussi.

[Pauline29]

Dans mon sujet, j'ai deux questions que j'avais oubliée de mettre dans l'énoncé de mon premier message, peux-tu continuer à m'aider ? (cela me fait très plaisir que tu m'accordes de ton temps et je t'en remercie mille fois)

5°) Démontrer que 0 ≤ en ≤ 1/n et donner lim n → +∞ de en

que peut-on en déduire concernant les limites de (Un ) et (Vn) ?

6°) A l'aide d'une machine donner une valeur approchée à 10^-6 près de cette limite en utilisant (Un ) en prévoyant habilement à l'avance quel rang n0 choisir pour calculer Un0 et obtenir cette valeur approchée.

[Pauline29]

Non c'est bon, pas la peine de citer le théorème. Mais il faut montrer que (Vn) est minorée aussi.

Pour montrer que (Vn) est minorée j'ai pensée à faire:

(Un) est croissante donc U1 <= U2 =< ... <= Un (U1 est le plus petit des termes)

U1 <= Un <= Vn
Donc U1 <= Vn
Donc (Vn) est minorée par U1 ?

[Pauline29]

Dans mon sujet, j'ai deux questions que j'avais oubliée de mettre dans l'énoncé de mon premier message, peux-tu continuer à m'aider ? (cela me fait très plaisir que tu m'accordes de ton temps et je t'en remercie mille fois)

5°) Démontrer que 0 ≤ en ≤ 1/n et donner lim n → +∞ de en

que peut-on en déduire concernant les limites de (Un ) et (Vn) ?

6°) A l'aide d'une machine donner une valeur approchée à 10^-6 près de cette limite en utilisant (Un ) en prévoyant habilement à l'avance quel rang n0 choisir pour calculer Un0 et obtenir cette valeur approchée.

J'ai fait:
en = Vn - Un = 1/(n x n!)

n! >= 1
n x n! >= n

Alors:

0 <= 1/(n x n!) <= 1/n
<=> 0 <= en <= 1/n

lim (1/n) = 0

La phrase qui suit je n'en suis pas sur: D'après le théorème des gendarmes, lim (en) = 0

en = Vn - Un
et car lim (en) = 0 ; on peut dire: lim (Un) = lim (Vn)

[Krayz]

Théorème des gendarmes ou d'encadrement on dit

[Pauline29]

@Krayz merci de m'avoir confirmé cela, j'avais une petite incertitude
Le reste est-il aussi bon ?
As-tu une idée pour la 6) J'ai une calculette Casio et malgré des recherches je n'ai pas trouvée comment faire:/

[Krayz]

C'est quoi en ?

[Pauline29]

en = Vn - Un